Автор: д.ф.-м.н., профессор А.П. Исаев
Аннотация: Математика классических интегрируемых систем очень интересна и богата, в ней естественным образом объединились функциональный анализ, теория функций, дифференциальная и алгебраическая геометрия, теория групп и алгебр Ли. Именно развитие теории интегрируемых систем привело и к новым открытиям в геометрии и алгебре - появлению квантовых групп с их богатым спектром приложений в геометрии, теории представлений, комбинаторике, теории графов и т.д. Курс посвящен изучению методов исследования, анализа и решения нелинейных уравнений математической физики. В основе современного подхода к интегрируемости лежит представление исследуемого уравнения в виде условия совместности вспомогательных линейных задач.
План:
- Открытие солитона, история предмета.
- Уравнение Кортевега-де Фриза. Односолитонное решение. Пара Лакса. Интегрируемость уравнения КдФ.
- Псевдодифференциальные операторы. Иерархия КдФ.
- Уравнение Кадомцева-Петвиашвили (КП). Иерархия КП.
- Тау-функция для иерархий КдФ и КП.
- Уравнения Хироты. Многосолитонные решения уравнения КдФ.
- Вершинные операторы. Билинейные тождества. Фермионное представление вершинных операторов.
- Нелинейное уравнение Шредингера и его интегрируемость.
- Уравнение синус-Гордон и его интегрируемость. Солитоны и бризеры.
- Массивное уравнение Тирринга и его интегрируемость.
- Корневые системы алгебр Ли и интегрируемые модели. Обобщенные цепочки Тоды и обобщенные модели Калоджеро-Мозера-Сазерленда.
