Авторы: д.ф.-м.н. А.С. Горский, к.ф.-м.н. Е.А. Зенкевич
Аннотация: В первой части данного курса рассматривалось точное решение Зайберга-Виттена для низкоэнергетичного эффективного действия N=2 суперсимметричных калибровочных теорий. Хотя это решение и является точным, его вывод основан на непрямых аргументах — свойствах голоморфности и предположениях о строении сингулярностей препотенциала. В данном курсе излагается прямое вычисление всех инстантонных поправок в N=2 суперсимметричных калибровочных теориях, впервые произведенное Некрасовым. Для этого рассматривается общее мульти-инстантонное решение Атьи-Дринфельда-Хитчина-Манина и таким образом описывается некомпактное пространство модулей инстантонов. Затем вводится техника эквивариантного интегрирования, и показывается, что с помощью нее можно, во-первых, свести функциональный интеграл N=2 теории к интегралу по пространству модулей инстантонов с некоторой канонической мерой, а во-вторых, что расходящийся конечномерный интеграл по пространству модулей может быть регуляризован, и сводится к сумме по фиксированным точкам действия некоторой подгруппы группы евклидовых вращений. Демонстрируется, что полученный ряд при снятии регуляризации воспроизводит решение Зайберга-Виттена. Используя аргументы теории струн, можно показать, что полученные регуляризованные статистические суммы для широкого класса калибровочных теорий оказываются равны конформным блокам двумерных конформных теорий. Таким образом, вводится соответствие Алдая-Гайотто-Тачикавы между четырехмерными N=2 асимптотически суперконформными калибровочными теориями и двумерными конформными теориями. Разбираются следствия и обобщения этого соответствия.
План:
- Твисторное преобразование. Мультиинстантонное решение Атьи-Дринфельда-Хитчина-Манина. Выбор калибровки, матричное представление решения. Колчанные многообразия Накаджимы.
- Эквивариантные когомологии. Теорема локализации в эквивариантных когомологиях. Фиксированные точки и фиксированные подмногообразия.
- N=2 калибровочная теория как топологическая квантовая теория поля. Топологический твист. Эквивариантный класс Тома. Локализация на пространство модулей инстантонов.
- Омега-деформация и эквивариантность по группе вращений в R^4. Эквивариантное интегрирование по пространству модулей инстантонов. Фиксированные точки.
- Инстантонная статсумма Некрасова и ее представления. Предел Зайберга-Виттена и восстановление препотенциала.
- Фиксированные точки пространства модулей инстантонов и фоковское пространство. Конформный блок теории свободного двумерного бозонного поля.
- Общий случай АГТ соответствия. Связь с кривой Гайотто. Калибровочные группы и W-алгебры. Проверки и доказательства.
- Вырожденные поля двумерной конформной теории и специальные точки в пространстве вакуумов омега-деформированной калибровочной теории. Операторы дефектов.
- Шестимерная N=(2,0) суперконформная теория поля и ее компактификации. Геометрия пространства калибровочных теорий. Проблема нелагранжевых теорий.
- Омега-деформированная калибровочная теория и квантовые интегрируемые системы. Предел Некрасова-Шаташвили. Уравнения Бете, потенциал Янга-Янга.
- S-дуальность калибровочной теории и соотношения бутстрапа двумерных конформных блоков. Интегральное ядро S-преобразования. Конечномерные представления модулярной группы.
- Пятимерные N=1 калибровочные теории и спектральная дуальность.
