Введение в двумерную конформную теорию поля

Аннотация

Конформная теория поля возникает в различных контекстах современной теоретической физики и имеет приложения в таких областях, как теория струн, статистическая физика, теория фазовых переходов, и т.д. Методы конформной теории поля отличаются от стандартных методов квантовой теории поля, они основаны на синтезе некоторых базовых физических принципов, таких как принцип симметрии пространства-времени и определенных свойств пространства локальных полей (наличия структуры операторного произведения). Данный синтез называется конформным бутстрапом, он дает независимый подход к исследованию квантовых корреляций в теории, обладающей конформной симметрией. В двух измерениях конформная симметрия становится бесконечномерной, что приводит к дополнительным интересным следствиям, а теория становится точно решаемой. Цель курса - ознакомится с базовыми методами двумерной конформной теории поля и с некоторыми ее приложениями.

План курса

• Основы классической и квантовой евклидовой лагранжевой теории поля: уравнения движения, симметрии, теорема Нетер, тождества Уорда, тензор энергии импульса, алгебра локальных полей.
• Ренормализационная группа и теория фазовых переходов второго рода. Пространство локальных взаимодействий. Масштабная инвариантность, критические и фиксированные точки. Бета-функция.
• Уравнение Каллана-Симанчика. Аномальные размерности. Модель Ландау. Гипотеза Полякова и специфика двумерной теории поля.
• Масштабная и конформная инвариантность. Конформная группа в D измерениях. Конформная группа в 2 измерениях. Локальные и глобальные конформные преобразования.
• Роль тензора энергии-импульса в двумерной конформной теории поля. Тождества Уорда-Такахаши. Алгебра Вирасоро. Классификация локальных полей.
• Операторное разложение (ОПР) в конформной теории поля. Вклад полей потомков в операторное разложение. Аналитические свойства ОПР.
• Вырожденные поля. Операторное разложение для вырожденных полей. Правила слияния (фьюжен). Сингулярные вектора. Дифференциальное уравнение БПЗ.
• Конформная теория поля в искривленном пространстве, конформная аномалия, теория Лиувилля.
• Классическая теория поля Лиувилля, простейшие решения, корреляционные функции, классический конформный блок, акссесорные параметры.
• Квантовая теория Лиувилля, корреляционные функции, структурные константы операторной алгебры, конформный бутстрап.
• Свободно-полевое представление Фейгина-Фукса для корреляционных функций и интегралы Доценко-Фатеева.
• Представления алгебры Вирасоро со специальными рациональными значениями центрального заряда, минимальные модели.