-
кандидат физико-математических наук
Куратор: Дмитрий Геннадиевич Левков (levkov@ms2.inr.ac.ru)
В курсе рассматриваются черные дыры в общей теории относительности. Предполагается, что студенты знакомы с основными понятиями римановой геометрии и специальной теории относительности
Для участия в школе студент должен:
1. Зарегистрироваться на странице мероприятия на научном портале "Ломоносов"
2. Выбрать интересующие темы по одному из предложенных курсов.
3. Отправить куратору курса интересующую тему. Куратор зарезервирует свободную тему и напишет об этом. Одну и ту же тему могут выбрать на более 2 человек.
4. После утверждения выбранной темы преподавателем студент должен до 03 января 2025 года подготовить и прислать куратору конспект темы в формате pdf (не более 2 стр., набранных в LaTeX). По итогам обсуждения конспекта будет принято решение об участии студента в зимней школе. Мы просим заинтересованных студентов присылать конспекты заранее, чтобы успеть изменить их в соответствии с замечаниями кураторов.
5. Отбор участников будет завершен к 10 января 2025 года.
Темы докладов:
1. Симметрии искривленного пространства-времени.
Производная Ли, векторы Киллинга, уравнение Киллинга. Показать, что поля Киллинга образуют алгебру Ли. Найти векторы Киллинга на двумерной сфере и в пространстве анти-де-Ситтера. Вычислить их коммутаторы. Какие алгебры получились? Количество решений уравнения Киллинга. Пространства постоянной кривизны.
Литература: [1], Appendix C, Ch. 5.1; [2], Section 1.3; [3], том 2, параграфы 25.2, 23.2; [4], параграфы 23, 24.
2. Геодезические.
Принцип наименьшего действия для точечной частицы. Уравнение геодезической. Связь сохраняющихся величин с векторами Киллинга. Общий вид сферически-симметричной метрики. Пространство Шварцшильда. Найти геодезические в пространстве Шварцшильда. Тесты ОТО: один простой пример. Вычислить собственное время падающего наблюдателя, проходящее до момента пересечения горизонта.
Литература: [1], Ch. 3.3, Appendix C, Ch. 6.1, 6.3; [3], глава 25; [5], параграфы 100, 101.
3. Причинная структура черных дыр.
Геодезическая неполнота пространства Риндлера. Расширение пространства. Координаты Крускала и диаграмма Пенроуза для пространства Шварцшильда. Cингулярность, горизонт, внутренность черной дыры. Гипотеза о космической цензуре. Причинная диаграмма для заряженной черной дыры. Диаграмма для коллапса тонкой светоподобной оболочки.
Литература: [1], Ch. 6.4, 12.1, 12.2, 12.3; [3], том 3, главы 31, 34; [6], Ch. 3.9, 5.1, 5.2.
4. Энтропия черной дыры.
Теорема об увеличении площади горизонта черной дыры (без доказательства). Периодичность пространства Шварцшильда в евклидовом времени. Евклидов функциональный интеграл для статистической суммы квантовой системы в состоянии термодинамического равновесия. Периодические граничные условия для бозонных полей. Черная дыра Шварцшильда как инстантон евклидового функционального интеграла. Вычисление энтропии по статистическим формулам.
Литература: [3], том 3, параграф 34.3; [6], Ch. 5.5.5; [7], приложение D.1; [8], [9], глава 7.
5. Термодинамика черных дыр.
Вращающаяся заряженная черная дыра как наиболее общее решение в ОТО. Нулевое начало: теорема об отсутствии волос. Первое начало: закон сохранения энергии. Второе начало: теорема об увеличении площади горизонта. Вычисление энтропии черной дыры с помощью формулы для температуры Хокинга. Энтропия заряженной и вращающейся черных дыр.
Литература: [3], том 3, главы 33.1, 33.2; [6], Ch. 5.5; [1], Ch. 12; [9], главы 8-9.
В рамках курса запланирована лекция “Информационный парадокс”.
Излучение Хокинга. Информационный парадокс и возможные пути его решения. Парадокс клонирования, постулаты дополнительности. Кривая Пейджа и отсутствие остатков. Намеки из АдС/КфТП соответствия.
Список литературы:
[1] R.M. Wald “General Relativity”, University of Chicago Press, 1984.
[2] C. Charmousis, “Anti De Sitter Black Holes”.
[3] Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер, “Гравитация”, тома 2, 3, М:Мир, 1977.
[4] Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко, “Современная геометрия”, М: Наука, 1986.
[5] Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц “Теоретическая физика”, том 2 “Теория поля”.
[6] E. Poisson “A Relativist’s Toolkit”, Cambridge University Press, 2004.
[7] Д.С. Горбунов, В.А. Рубаков, “Введение в теорию ранней Вселенной”, т. 1 “Теория горячего большого взрыва”, Москва, 2006.
[8] Gibbons, G. W., & Hawking, S. W. (1977). Action integrals and partition functions in quantum gravity. Physical Review D, 15, 2752.
[9] Д.Г. Левков “Парадоксальная информация о сиянии черных дыр”, 2024.
