Институт теоретической и математической физики

МГУ имени М.В. Ломоносова

Физика черных дыр

Куратор: Дмитрий Геннадиевич Левков (levkov@ms2.inr.ac.ru)

 

В курсе рассматриваются черные дыры в общей теории относительности. Предполагается, что студенты знакомы с основными понятиями римановой геометрии и специальной теории относительности

 

Для участия в школе студент должен:

1. Зарегистрироваться на странице мероприятия на научном портале "Ломоносов" 

2. Выбрать интересующие темы по одному из предложенных курсов. 

3. Отправить куратору курса интересующую тему. Куратор зарезервирует свободную тему и напишет об этом. Одну и ту же тему могут выбрать на более 2 человек.

4. После утверждения выбранной темы преподавателем студент должен до 03 января 2025 года подготовить и прислать куратору конспект темы в формате pdf (не более 2 стр., набранных в  LaTeX).  По итогам обсуждения конспекта будет принято решение об участии студента в зимней школе. Мы просим заинтересованных студентов присылать конспекты заранее, чтобы успеть изменить их в соответствии с замечаниями кураторов.

5. Отбор участников будет завершен к 10 января 2025 года

Темы докладов:

 

1. Симметрии искривленного пространства-времени.

Производная Ли, векторы Киллинга, уравнение Киллинга. Показать, что поля Киллинга образуют алгебру Ли. Найти векторы Киллинга на двумерной сфере и в пространстве анти-де-Ситтера. Вычислить их коммутаторы. Какие алгебры получились? Количество решений уравнения Киллинга. Пространства постоянной кривизны.

Литература: [1], Appendix C, Ch. 5.1; [2], Section 1.3; [3], том 2, параграфы 25.2, 23.2; [4], параграфы 23, 24.

2. Геодезические.

Принцип наименьшего действия для точечной частицы. Уравнение геодезической. Связь сохраняющихся величин с векторами Киллинга. Общий вид сферически-симметричной метрики. Пространство Шварцшильда. Найти геодезические в пространстве Шварцшильда. Тесты ОТО: один простой пример. Вычислить собственное время падающего наблюдателя, проходящее до момента пересечения горизонта.

Литература: [1], Ch. 3.3, Appendix C, Ch. 6.1, 6.3;  [3], глава 25; [5], параграфы 100, 101.

3. Причинная структура черных дыр.

Геодезическая неполнота пространства Риндлера. Расширение пространства.  Координаты Крускала и диаграмма Пенроуза для пространства Шварцшильда. Cингулярность, горизонт, внутренность черной дыры. Гипотеза о космической цензуре. Причинная диаграмма для заряженной черной дыры. Диаграмма для коллапса тонкой светоподобной оболочки.

Литература: [1], Ch. 6.4, 12.1, 12.2, 12.3; [3], том 3, главы 31, 34; [6], Ch.  3.9, 5.1, 5.2.

4. Энтропия черной дыры.

Теорема об увеличении площади горизонта черной дыры (без доказательства). Периодичность пространства Шварцшильда в евклидовом времени.  Евклидов функциональный интеграл для статистической суммы квантовой системы в состоянии термодинамического равновесия. Периодические граничные условия для бозонных полей. Черная дыра Шварцшильда как инстантон евклидового функционального интеграла. Вычисление энтропии по статистическим формулам.

Литература: [3], том 3, параграф 34.3; [6], Ch. 5.5.5; [7], приложение D.1;  [8], [9], глава 7.

5. Термодинамика черных дыр.

Вращающаяся заряженная черная дыра как наиболее общее решение в ОТО. Нулевое начало: теорема об отсутствии волос. Первое начало: закон сохранения энергии. Второе начало: теорема об увеличении площади горизонта. Вычисление энтропии черной дыры с помощью формулы для температуры Хокинга. Энтропия заряженной и вращающейся черных дыр.

Литература: [3], том 3, главы 33.1, 33.2; [6], Ch. 5.5; [1], Ch. 12; [9], главы 8-9.

 

В рамках курса запланирована лекция “Информационный парадокс”.

Излучение Хокинга. Информационный парадокс и возможные пути его решения. Парадокс клонирования, постулаты дополнительности. Кривая Пейджа и отсутствие остатков. Намеки из АдС/КфТП соответствия.

 

Список литературы:

[1]  R.M. Wald “General Relativity”, University of Chicago Press, 1984.

[2]  C. Charmousis, “Anti De Sitter Black Holes”.

[3]  Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер, “Гравитация”, тома 2, 3, М:Мир, 1977.

[4]  Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко, “Современная геометрия”, М: Наука, 1986.

[5]  Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц “Теоретическая физика”, том 2 “Теория поля”.

[6]  E. Poisson “A Relativist’s Toolkit”, Cambridge University Press, 2004.

[7]  Д.С. Горбунов, В.А. Рубаков, “Введение в теорию ранней Вселенной”, т. 1 “Теория горячего большого взрыва”, Москва, 2006.

[8]  Gibbons, G. W., & Hawking, S. W. (1977). Action integrals and partition functions in quantum gravity. Physical Review D, 15, 2752.

[9]  Д.Г. Левков “Парадоксальная информация о сиянии черных дыр”, 2024.