Калибровочные поля и супергеометрия

Калибровочные поля и супергеометрия

Куратор: Максим Григорьев (grigoriev@itmp.msu.ru)

1. Комплекс Де-Рама и лемма Пуанкаре в терминах супергеометрии. Комплекс де Рама как супермногообразие. Q-многообразия.
   
   
   • Используя отождествление дифференциальных форм с функциями на нечетном касательном расслоении сформулировать и доказать лемму Пуанкаре.
   • Используя отождествление дифференциальных форм с функциями на нечетном касательном расслоении найти явное  координатное выражение для производной Ли дифференциальных форм. Аналогичным образом доказать “магическую” формулу Картана $d i_X+i_X d=L_X$
2.  Векторные расслоения и связности в них. Кривизна.  Действия Черна-Саймонса и Янга-Миллса. Калибровочная инвариантность.
   
   
   • Показать как векторное расслоение можно задавать в терминах покрытия и функций склейки.
   • Найти вариацию  действия Черна-Саймонса при калибровочном преобразовании.
   • Кривизна и кручение в касательном расслоении. <\li>
   • Действие гравитации в терминах связности алгебры Пуанкаре.
3. Связности как нечетные векторные поля.
   
   
   • Показать что имеется взаимооднозначаное соответствие между связностями в векторном расслоении $V \to X$ и нечетными векторными полями на прямой сумме $V \oplus T[1]X$ вида $d+\Gamma$, где $\Gamma$ линеен по координатам на слоях.
   • В условиях предыдущей задачи показать что кривизна выражается через  $Q^2$. В частности, для плоской связности $Q^2=0$.
4. Q-многообразия. Пример алгеброида Ли. Алгеброид Куранта.
   
   
   • Показать, что  алгеброиды Ли находятся во взаимнооднозначном соответсвии с Q-многообразиями, где присутствуют координаты градуировки 1 и 0.
   • Алгеброид Куранта.
5. BRST комплекс калибровочной теории. Продольный дифференциал. Дифференциал Кошуля.
   
   
   • Система со связями первого рода.
   • Калибровочная инвариантность гамильтонова действия ( [HT]).
   • Показать что для регулярных связей можно построить дифференциал Кошуля ([HT]).
   • Релятивистская частица в гамильтоновом формализме. Связи и БРСТ заряд ([HT]).
   • BRST комплекс линейной калибровочной теории
6. AKSZ конструкция для топологических теорий.
   
   
   • Пуассонова сигма-модель.
   • Найти калибровочные инвариантности действия Пуассоновой сигма модели.
   • Построить действие Черна-Саймонса в AKSZ формализме [AKSZ]
   • Построить действие топологической теории, отвечающей алгеброиду Куранта [Ro]

 

Список литературы:

 

[CS] A.S.Cattaneo and F.Schaetz, ``Introduction to supergeometry,''  Rev. Math. Phys. 23, 669 (2011) http://arxiv.org/abs/arXiv:1011.3401

[HT] M. Henneaux and C. Teitelboim, Quantization of Gauge Systems,

[Le] Д. А. Лейтес, “Введение в теорию супермногообразий”, УМН, 35:1(211) (1980), 3–57; Russian Math. Surveys, 35:1 (1980), 1–64 http://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=rm&paperid=3160&what=fullt&option_lang=rus

[AKSZ]  M. Alexandrov, M. Kontsevich, A. Schwarz, and O. Zaboronsky. The geometry of the Master equation and topological quantum field theory. Int. J. Modern Phys. A, 12(7):1405–1429, (1997). http://arxiv.org/abs/hep-th/9502010

[Ro] D. Roytenberg, “AKSZ–BV Formalism and Courant Algebroid-Induced Topological Field Theories.” Letters in Mathematical Physics 79.2 (2006). http://arxiv.org/abs/hep-th/0608150