Супергеометрия и квантовая механика

• 

  Зенкевич Егор Андреевич

  к.ф.-м.н., научный сотрудник Университета Milano Bicocca, старший научный сотрудник ИТЭФ, научный сотрудник ИТМФ МГУ

• 

  Сергей Андреевич Миронов

  к.ф.-м.н., научный сотрудник ИЯИ РАН, старший научный сотрудник ИТЭФ, научный сотрудник ИТМФ МГУ

Аннотация

В этом курсе мы познакомимся с геометрическим описанием простейших суперсимметричных теорий - моделей суперсимметричной квантовой механики. Мы изучим связь этих моделей с разными математическими объектами: индексами эллиптических операторов и эквивариантными когомологиями. Курс предназначен для студентов 3 курса и старше.

План курса

1. Напоминание: классическая механика и теория поля. Многообразия и структуры на них.

2. Дифференциальные формы. Грассмановы переменные. Интеграл Березина.

3. Расслоения. Метрика связность, кривизна, характеристические классы.

4. Дифференциалы и комплексы. Гомологии и когомологии.

5. Спиноры и спиновая структура. Топологическое препятствие к существованию спиновой структуры.

6. Комплексное продолжение. Комплексная структура. Почти комплексная структура. Кэлеровы многообразия. Эрмитова метрика.

7. Суперсимметрия в квантовой механике. Индекс Виттена. Примеры.

8. Суперпространство и суперполя в квантовой механике. Построение Лагранжианов. Суперпотенциал.

9. Одномерные суперсимметричные сигма-модели. Суперзаряды и дифференциалы. Индекс Виттена как топологическая характеристика.

10. Связь комплекса де Рама с N=1 суперсимметричной квантовой механикой. Эйлерова характеристика.

11. N=1/2 суперсимметричная квантовая механика. Индекс Виттена как индекс оператора Дирака. Связь с киральными аномалиями. Теорема Гротендика-Римана-Роха.

12. Теория Морса и квантовая механика. Суперпотенциал как функция Морса. Гомологии и неравенства Морса.

13. Теорема о локализации. Класс Эйлера как класс Тома.

14. Факторпространства. Эквивариантные когомологии. Конструкция Картана и конструкция Бореля. Эквивариантные расслоения и характеристические классы.

15. Локализация в эквивариантных когомологиях. Эквивариантный класс Тома. Эквивариантность отображения моментов и теорема Дуйстермаата-Хекмана.

16. Локализация и суперсимметричная квантовая механика. Эквивариантный индекс оператора Дирака. Послесловие: теория струн, первичное и вторичное квантование, новые геометрические структур