Супергеометрия и квантовая механика

• 

  Зенкевич Егор Андреевич

  к.ф.-м.н., н.с. SISSA (Италия), с.н.с. ИТЭФ, н.с. ИТМФ МГУ

• 

  Миронов Сергей Андреевич

  к.ф.-м.н., н.с. ИЯИ РАН, с.н.с. ИТЭФ, н.с. ИТМФ МГУ

Аннотация

Для студентов 3 курса и старше

Расписание: пятница, 17:05, аудитория 5-24, физический факультет МГУ

Первое занятие - 25 февраля 2022 года.

В этом курсе мы познакомимся с геометрическим описанием простейших суперсимметричных теорий - моделей суперсимметричной квантовой механики. Мы изучим связь этих моделей с разными математическими объектами: индексами эллиптических операторов и эквивариантными когомологиями. Курс предназначен для студентов 4 курса и старше.

План курса

1. Напоминание: классическая механика и теория поля. Многообразия и структуры на них.
2. Дифференциальные формы. Грассмановы переменные. Интеграл Березина.
3. Расслоения. Метрика связность, кривизна, характеристические классы.
4. Дифференциалы и комплексы. Гомологии и когомологии.
5. Спиноры и спиновая структура. Топологическое препятствие к существованию спиновой структуры.
6. Комплексное продолжение. Комплексная структура. Почти комплексная структура. Кэлеровы многообразия. Эрмитова метрика.
7. Суперсимметрия в квантовой механике. Индекс Виттена. Примеры.
8. Суперпространство и суперполя в квантовой механике. Построение Лагранжианов. Суперпотенциал.
9. Одномерные суперсимметричные сигма-модели. Суперзаряды и дифференциалы. Индекс Виттена как топологическая характеристика.
10. Связь комплекса де Рама с N=1 суперсимметричной квантовой механикой. Эйлерова характеристика.
11. N=1/2 суперсимметричная квантовая механика. Индекс Виттена как индекс оператора Дирака. Связь с киральными аномалиями. Теорема Гротендика-Римана-Роха.
12. Теория Морса и квантовая механика. Суперпотенциал как функция Морса. Гомологии и неравенства Морса.
13. Теорема о локализации. Класс Эйлера как класс Тома.
14. Факторпространства. Эквивариантные когомологии. Конструкция Картана и конструкция Бореля. Эквивариантные расслоения и характеристические классы.
15. Локализация в эквивариантных когомологиях. Эквивариантный класс Тома. Эквивариантность отображения моментов и теорема Дуйстермаата-Хекмана.
16. Локализация и суперсимметричная квантовая механика. Эквивариантный индекс оператора Дирака. Послесловие: теория струн, первичное и вторичное квантование, новые геометрические структуры.