Семинар по математической физике для младшекурсников

• 

  Анохина Александра Сергеевна

  к.ф.-м.н., старший научный сотрудник, Национальный исследовательский центр "Курчатовский институт"

Аннотация

Для студентов младших курсов

Расписание:  четверг, 17:05-18:40

Место: Ломоносовский корпус МГУ, 7 этаж, ИТМФ, аудитория Г-708

Курс задуман как вариант «достающего звена» между популярными материалами и профильными спецкурсами в области современной математической физики. Автор надеется, что курс хотя бы немного поможет студентам с самоопределением. В программе заложены определенные степени свободы, которые  позволят адаптировать фактическую программу занятий к возможностям и запросам реальной аудитории.

Мы попытаемся составить первое представление о том, как устроена математическая физика «изнутри». Мы разберем серию достаточно базовых, но уже нетривиальных сюжетов, которые, по мнению автора, передают дух исследования в математической физике и позволяют попробовать «своими руками» её базовые инструменты: исследование «катастроф» в динамических системах, линейное пространство состояний, статсумму, сумму по путям, теорию симметрии, понятие перенормировок и др.

Курс состоит из мини-лекций, решения задач на семинарах,  самостоятельной работы, коллоквиумов по пройденному материалу. Во втором семестре также предполагается работа над исследовательскими проектами и их защита.

Курс рассчитан на студентов, знакомых с основами линейной алгебры и математического анализа. Также от слушателей ожидается  некоторый кругозор и любопытство.

 

План курса

I Семестр

0. Дискретная динамика в комплексной плоскости как модель «теории катастроф»: Орбиты, устойчивость, результанты, бифуркации, числа Фейнбаума, модель перехода к турбулентности.

1. Пространство состояний, суперпозиция состояний, оператор эволюции. Производящая функция комбинаторной задачи как стастумма. Тождественные состояния по Бозе и по Ферми. Почему настоящая квантовая наблюдаемая – нелинейная (квадрат волновой функции)?

2. Два определения экспоненты: через свойство композиции и через сумму по путям. Явное доказательство эквивалентности для комбинаторных задач: метод треугольников Паскаля. Дробная статистика и «квантовая» комбинаторика. Анионы, узлы и квантовый компьютер.

3. Дуальность в решёточных моделях на примере в задаче Мейснера. Сумма по путям как статсумма. Сумма по путям как сумма по областям. «Физический» смысл дуальности.
4. «Полином Джонса – вильсоновское среднее в теории Черна–Саймонса» («Расшифровка» утверждения и его краткий историко-литературный обзор.) Узлы, «пространство узлов», полиномы узлов. Знаменитая работа Виттена, ее предпосылки и интерпретации. Модель Кауффмана. Набросок ТКТП для полинома ХОМФЛИ: разбор конкретных «квантово-полевых» свойств инвариантов узлов. Карта «матфизики узлов»: уравнение Янга–Бакстера как точка пересечения топологии, интегрируемых моделей и квантовых групп.

II Семестр

5. Пространство состояний мультиполей. Электростатическое мультипольное разложение как линейное пространство состояний системы зарядов. Вращательная симметрия основной задачи электростатики (уравнения Лапласа). Пространство мультиполей данного порядка как пространство представления группы вращений.

6.  Связь электростатического мультипольного разложения и квантования момента импульса. Явное соответствие точных мультиполей и квантовых состояний с «максимально определённым» моментом. Классическая интегрируемость и квантовая соизмеримость. Математика и физика принципа соответствия: обсуждение теорем и экспериментов.

7. Перенормировка маятника Капицы.  Понятие «быстрых» и «медленных» переменных. Усреднение по «медленным» переменным. Физика «перенормировки»: как «выглядит» система на разных масштабах.

8. Теорема Боголюбова в примерах из нелинейной аглебры. Алгебраическая модель перенормируемой КТП.Решение нелинейной системы уравнений с помощью Формулы лесов Боголюбова.

00. Выбор курсового проекта, самостоятельная работа над с воим проектом и обсуждения на занятия–коллоквиумах, защита проекта на заключительном занятии.

 

Литература

Рекомендованная литература:

1. Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. АСТ 2021. – Общий курс физики с разбором «каверзных» вопросов.
2. Парамонова И.М. Симметрия в математике. МЦНМО 2011 – Идея связи симметрий с законами сохранения в изящных математических примерах.
3. V.Dolotin, A.Morozov https://arxiv.org/abs/hep-th/0501235, And. Morozov https://arxiv.org/abs/0710.2315. – Введение в дискретную нелинейную динамику (множество Мандельброта).
4. V.Dolotin, A.Morozov. https://arxiv.org/abs/hep-th/0609022 – Введение в нелинейную алгебру.
5. A.Morozov, M.Serbyn. https://arxiv.org/abs/hep-th/0703258 – Введение в теорему Боголюбова.
6. http://www1.jinr.ru/Pepan/v-51-2/03_Anokhina.pdf  – Узлы и физика (сюжет I.4 из курса).
7. А. П. Кузнецов, С. П. Кузнецов, А. В. Савин, Н. В. Станкевич. Физика: от оценок и исследованию. Регулярная и хаотическая динамика 2009. – Сборник задач по физике, скорее школьных, но отражающих дух физики как науки и часто с «открытым» финалом.
8. Г.Хакен. «Синергетика» – Введение в науку о случайности, нелинейности, хаосе и самоорганизации путём подробного анализа конкретных примеров.
9. Гейзенберг В. УФН Т.122 С.574–586 (1977) – Перевод знаменитой статьи об «операторах–наблюдаемых».
10. Вариационные принципы механики. Под ред. Л.С.Полака. ГИФМЛ, 1959– Сборник переводов оригинальных статей по теоретической механике. Для интересующихся историей развития научной мысли на пути от классической к квантовой механике.
11. Капица П.Л. Физические задачи. М.: Знание, 1966. – Задачи Капицы; к вопросу о том, что в науке нет глупых вопросов.
12. В.И.Арнольд https://etudes.ru/etudes/arnold-pendulum/, А. Акопян;  https://elementy.ru/problems/2403/Mayatnik_Kapitsy – Про маятник Капицы.
13. https://www.youtube.com/watch?v=lPkHEfB1vGM – Про «кельтский камень» (другой пример системы с очень нетривиальной, но вполне познаваемой динамикой).
14. Burkard Polster, Marty Ross. Канал Mathologer. https://www.youtube.com/channel/UC1_uAIS3r8Vu6JjXWvastJg –  математика с физическим лицом.
15. Журнал «Успехи физических наук» – Верифицируемый источник для поиска обзоров по интересующей теме и сводок научных новостей.
16. Фейнман Р.Ф. Вы конечно шутите, мистер Фейнман! АСТ 2014. – Биография Р.Фейнмана в анекдотах, подчас глубоко научных. Для вдохновения.

Материалы для дополнительного изучения

Примеры тем для исследовательских проектов

1. Динамика «кельтского камня».
2. Множества Мандельброта различных отображений как модель фазовых переходов в дискретной динамике.
3. Математическая модель  «рождения сложности» в ходе эволюции: например, Protozoon Маркова.
4. Поляковская модель конфайнмента на 2d решётке или другая решёточная модель с фазовым переходом.
5. Математика и физика нейросетей.
6. Математика и физика квантовой связи, квантовой криптографии и квантовых вычислений.
7. Теория узлов в физике биополимеров.
8. Термодинамика «рождения сложности», H-теорема против S-теоремы, «откуда у нас такая низкая энтропия»?
9. Предсказывает ли ОТО кротовые норы и машины времени, как они «выглядят», запрещает ли их что-нибудь?
10. Физика соответствияквантового и классического моментов импульса. Импульс электромагнитного поля, опыты Лебедева и Садовского, их классическая и квантовая интерпретации. Парадокс «самодвижущейся» электромагнитной тележки.
11. Обзор истории вопроса и актуальных задач по выбранной теме (вблизи тематики курса).
12. Научный разбор «хайповой» научной новости на выбор (вблизи тематики курса).