Современная теория конденсированного состояния для теоретиков всех специальностей

• 

  Рубцов Алексей Николаевич

  Профессор Физического факультета МГУ, руководитель научной группы Российского квантового центра

  Научные интересы:

  • квантовый метод Монте-Карло и диаграммные методы для коррелированных систем;
  • системы с развитыми флуктуациями;
  • квантовое машинное обучение.

• 

  Поляков Евгений Александрович

  Постдок Российского Квантового Центра

  Научные интересы:

  • квантовая  динамика открытых систем;
  • связь с теорией квантовых измерений, квантово-классический переход;
  • приложения к теории квантовой сложности.

Аннотация

Для студентов 5 курса и старше

Расписание: пятница, 17:05, ауд. Г-725, Ломоносовский корпус МГУ

Начало занятий - 3 сентября 2021 г.

Цель данного курса лекций - познакомить начинающих исследователей из области теоретической и математической физики с тем, как основные методы теории поля (формализм континуального интеграла, диаграмматика, ренормгруппа,  квантовые методы Монте-Карло) применяются для интерпретации, описания и численных расчетов в физике конденсированного состояния. Упор будет сделан на типичные в физике конденсированного состояния явления, проявляющиеся в системах с нарушенной трансляционной симметрией (то есть, сосредоточенных либо определенных на дискретной решетке). Курс дополнен большим количеством практических задач, которые будут разбираться на занятиях.

План курса

1. Элементы физики квантовых фазовых переходов (при T=0)

Основные гамильтонианы физики конденсированного состояния: модель Кондо, примеси Андерсона, Хаббарда на конечномерных решетках и решетке Бете. 
Модель Изинга в поперечном поле в одном измерении. Преобразование Йордана-Вигнера. Понятие о топологических фазовых переходах.
Модель Изинга в d-мерном пространстве. Предел большой размерности (координационного числа). Метод когерентного потенциала для неупорядоченных систем.
Примеры заданий: Оценить нижнюю критическую размерность для модели Изинга в случайном поле.
Основные состояния и возбуждения модели Изинга в пределе сильного и слабого поперечного поля. Метод эффективного Гамильтониана для описания закона дисперсии времени и времени жизни возбуждений. Связанные состояния возбуждений.
Примеры заданий: вычислить поправки к энергии основного состояния и к закону дисперсии квазицастиц для модели Изинга
Отображение d-мерной модели Изинга на phi^4 модель. Метод «мягких» спинов. Скейлинговый предел. Универсальность. Основные наблюдаемые в терминах модели phi^4: корреляционные функции, восприимчивость, спектральная плотность. Фазовая диаграмма в седловом приближении (парамагнит/магнитный порядок).
Примеры заданий: вычислить собственную энергию квазичастиц в парамагнитной фазе
(Напоминание/изложение в зависимости от подготовки аудитории) Основные результаты метода ренормгруппы для модели phi^4. Свойства d-мерной модели Изинга в критической точке. Теорема Мермина-Вагнера.
Примеры заданий: вычислить спектральную плотность в ведущем порядке для модели Изинга в критической точке
Решетка из квантовых роторов. Основные состояния и возбуждения в пределе сильного и слабого взаимодействия. Отображение на модель phi^4. Фазовая диаграмма и критические свойства. Закрытие щели и отсутствие квазичастиц в критической точке.
Квантовая фаза с нарушенной симметрией для моделей Изинга и решетки роторов: корреляции параметра порядка, уравнения Лондона, проводимость.
Модель Бозе-Хаббарда на двумерной прямоугольной решетке. Квантовый фазовый переход изолятор Мотта-сверхтекучесть при T=0. Фазовая диаграмма. Качественный анализ диаграммы. Спектральные свойства возбуждений. Boson-enhancement factors. Особые точки фазовой диаграммы: фаза типа шахматного порядка при полуцелом заполнении.
Описание в терминах интеграла по траекториям. Преобразование Хаббарда-Стратоновича. Эффективная теория для квантового фазового перехода в модели Бозе-Хаббарда без изменения плотности. Соотношения на коэффициенты эффективной теории из калибровочной инвариантности.
Транспорт в критической точке. Результаты, следующие из соответствия AdS/CFT для модели сильно взаимодествующей 2+1-мерной жидкости

2. Одномерные системы

Метод бозонизации для спиновых цепочек и фермионов. Жидкость Томонага-Латтинжера. Модель Синус-Гордона.
Примеры заданий: определить скорость звука в одномерной Ферми-жидкости со слабым взаимодействием.
Фазовый переход Березинского–Костерлица–Таулесcа

3. Фермионы на решетках

Теорема Блоха. Ферми-жидкость, теорема Латтинжера. Переход Мотта-Хаббарда. Предел большой размерности (координационного числа). Динамическая теория среднего поля – элементарный вывод, диаграммная интерпретация. 
Примеры заданий: Построить уравнения метода когерентного потенциала для неупорядоченных систем.
Теорема Блоха. Модель Кондо. Твердотельные Кондо-системы. Расходимость теории возмущений. Температура Кондо. Ренормгрупповой подход. Асимптотическая свобода в модели Кондо.
Примеры заданий: оцените температуру Кондо для системы с локализованным спином S=1.
Примесная модель Андерсона. Методы численного анализа примесной модели Андерсона. Квантовые методы Монте-Карло – разложения по взаимодействию и гибридизации. 
Примеры заданий: заменив непрерывную плотность состояний окружения на набор из 2-3 дискретных пиков, построить плотность состояний в модели Андерсона методом точной диагонализации.

Модель Хаббарда. Моттовские изоляторы. Метод DMFT. Фазовая диаграмма допированной модели Хаббарда.

Примеры заданий: Рассмотрим модель Хаббарда в режиме полузаполнения. Предположим, что взаимодействие на узле U гораздо больше хоппинга t, U≫t. Показать, что поведение на низких энергиях описывается Гамильтонианом для S=1⁄2 антиферромагнитной цепочки Гейзенберга.

4. Топология зон Бриллюэна

Адиабатические процессы и фаза Берри. «насос Таулесса»: перенос заряда в топологической квантовой системе

Топологическая классификация квантовых состояний. Топологические инварианты

Задание: Рассмотрим модель Su-Schrieffer-Heeger (SSH). Было показано, как для нее возникает топологический инвариант – winding number. Пусть параметры модели находятся в диапазоне, соответствующих нетривиальной топологической фазе. Показать, что в таком случае существуют локализованные состояния на границе (edge states). А именно, рассмотрим полубесконечную модель SSH, которая получается из бесконечной модели наложением граничного условия равенства нулю волновой функции на первом узле подрешетки B. Показать, что в случае нетривиальной топологической фазы кроме периодических блоховских решений существует решение в виде затухающей экспоненты.

Целочисленный квантовый эффект Холла