Афинные алгебры

Сергей Миронов

кандидат физико-математических наук, научный сотрудник ИТМФ МГУ, научный сотрудник Института ядерных исследований РАН

Аннотация

Для студентов 4-5 курсов

В курсе были изучены афинные алгебры и их представления. Занятия предназначены для студентов-теоретиков, интересующихся современными проблемами математической физики. На семинарах разобмралось большое количество задач и конкретных примеров.

План курса

Основные темы курса:

Напоминание. Компактные алгебры Ли. Конечные системы корней, диаграммы Дынкина, классификация Картана. Группа Вейля. Веса и представления. Формула Вейля.
Афинные системы корней. Классификация афинных систем корней. Мнимые корни.
Алгебры петель. Афинные алгебры как центральное расширение алгебр петель. Алгебра Вирасоро как центральное расширение алгебры векторных полей на окружности.
Твистованные афинные алгебры. Автоморфизмы диаграм Дынкина. Твистованные граничные условия.
Афинная группа Вейля. Действие на решетке корней.
Представления афинных алгебр. Представление evaluation. Представления старшего веса. Интегрируемые представления старшего веса. Действие афинной группы Вейля на весах. Инвариантность представлений относительно группы Вейля. Размерности весовых подпространств.
Модуль Верма. Разрешение Бернштейна-Гельфанда-Гельфанда (БГГ) для компактных алгебр.
Разрешение БГГ для афинных алгебр.
Характеры представлений алгебр Ли. Формальные характеры.
Формула Вейля-Каца для характера. Доказательство с помощью разрешения БГГ. Тройное тождество Якоби.
Модулярная ковариантность характеров афинных алгебр. S и T преобразования.
Двумерные конформные теории с расширенной симметрией. Связь с алгебрами петель. Модель Весса-Зумино-Новикова-Виттена (ВЗНВ). Голоморфные токи и бесконечномерная симметрия.
Конструкция Шугавары для тензора энергии-импульса модели ВЗНВ.