Перенормировка квантовых теорий поля. Часть 2

План курса

1. Метод фонового поля: фоновая калибровка и фоновый производящий функционал функций Грина, ковариантность производящего функционала сильно-связных функций Грина, связь констант перенормировки заряда и фонового поля. Пример: вычисление β-функции в теории ЯМ с группой SU(2). Алгоритм т’Хоофта-Вельтмана вычисления однопетлевых расходимостей: «калибровочная» инвариантность квадратичной части фонового действия, общий вид контрчленного лагранжиана, вычисление расходящихся коэффициентов, применение алгоритма к полям ЯМ.
2. Формализм Зинн-Жустена (ЗЖ): нильпотентность БРСТ-преобразований в секторе полей {A^a_μ, c^a}, источники БРСТ-преобразований (конструкция ЗЖ), тождества Славнова-Тейлора в форме ЗЖ. Поля Наканиши-Лаутрупа и нильпотентность БРСТ-преобразований в секторе полей {A^a_μ, c^a, c‾^a}. Уравнение для расходимостей производящего функционала вершин (уравнение перенормировки).
3. Применение формализма ЗЖ к доказательству перенормируемости R²-гравитации: группа диффеоморфизмов пространства-времени, калибровка ДеВитта, БРСТ -преобразования в квантовой гравитации, индекс расходимости диаграмм в эйнштейновской гравитации и R²-гравитации, духовые числа полей и типы расходящихся диаграмм. Решение уравнения перенормировки и общий вид перенормированного действия R²-гравитации.
4. Унитарность S-матрицы и положительность вычета в полюсе пропагатора физического поля. Связь с положительностью нормы в пространстве состояний и положительностью энергии одночастичного состояния. Нарушение унитарности в R²-гравитации.
5. Формализм Баталина-Вилковыского (БВ): антиполя и антискобка, антиканонические преобразования, инвариантность антискобки и неинвариантность фазового объема. Мастер-уравнение: тождества Нетер, нильпотентность матрицы вторых производных действия, собственные решения мастер-уравнения. Лагранжево квантование по БВ: аксиомы, калибровочный фермион, БРСТ-преобразования, квантовое мастер-уравнение, калибровочная независимость неперенормированной S-матрицы. S-матрица теорий ЯМ в формализме БВ.
6. Перенормировка калибровочных теорий в формализме БВ (метод Воронова-Лаврова-Тютина): включение источников БРСТ-преобразований в калибровочный фермион, наложение калибровочного условия как антиканоническое преобразование, поведение неперенормированных производящих функционалов при вариации калибровки. Доказательство калибровочно-инвариантной перенормируемости калибровочной теории общего вида в произвольной калибровке. Поведение перенормированных производящих функционалов при вариации калибровки и калибровочная независимость перенормированной S-матрицы.
7. Сингулярности функций Грина в пределе совпадения аргументов. Примеры: глубоконеупругое рассеяние (сингулярность среднего произведения адронных токов), флуктуации электромагнитного поля (сингулярность корреляционной функции). Операторное разложение Вильсона: общий вид и его качественное обоснование в методе континуального интеграла, наивный подсчет степеней. Составные операторы. Пример построения операторного разложения: разложение T{φ(x)φ(y)} в первом порядке теории φ⁴ в четырех измерениях: коэффициенты Вильсона единичного оператора, перенормированных составных операторов [φ²] и [∂_μφ²].
8. Построение коэффициента Вильсона оператора [φ²] во всех порядках теории возмущений: переход в импульсное представление, двухчастичная неприводимость функций Грина, интегральное уравнение для функций Грина оператора T{φ(x)φ(y)}, индуктивное построение коэффициента Вильсона. Операторное смешивание: матрица смешивания, размерности смешиваемых операторов. Пример: перенормировка оператора φ² в теории φ³ в шести измерениях.
9. РГ уравнение для коэффициентов Вильсона: независимость от точки нормировки при фиксированных зарядах, матрица аномальных размерностей, РГ уравнение в случае бегущих зарядов. Решение РГ уравнения: обезразмеривание, переход к импульсному аргументу, М-экспонента, вид решения в случае асимптотически-свободной теории.
10. Приложение теории операторных разложений к глубоконеупругому рассеянию: структурные функции глубоконеупругого рассеяния электрона на нуклоне, предел Бьёркена, разложение произведения адронных токов T{J_μ(x)J_ν(y)} на световом конусе, твист оператора, построение операторов с наименьшим твистом, дисперсионное соотношение между структурными функциями произведений T{J_μ(x)J_ν(y)} и J_μ(x)J_ν(y), бьёркеновский скейлинг.
11. Нарушение скейлинга: определение коэффициентов Вильсона по рассеянию электрона на кварке, выражения для структурных функций произведения T{J_μ(x)J_ν(y)}, восстановление структурных функций произведения J_μ(x)J_ν(y) с помощью дисперсионного соотношения, система уравнений для моментов структурных функций и ее решение в терминах партонной модели. Пример вычисления матрицы операторного смешивания в однопетлевом приближении.

Литература

1. Дж. Коллинз, Перенормировка, М.: Мир, 1988.
2. О. И. Завьялов, Перенормированные диаграммы Фейнмана, М.: Наука, 1979.
3. A. J. Macfarlane, G. Woo, “φ³ theory in six dimensions and the renormalization group,” Nucl. Phys. B77, 91 (1974); B86, 548 (1975) (erratum).
4. S. Weinberg, “High-energy behaviour in quantum field theory,” Phys. Rev. 118, 838 (1960).
5. А. А. Славнов, Л. Д. Фаддеев, “Введение в квантовую теорию калибровочных полей,” М.: Наука, 1988.