Перенормировка квантовых теорий поля. Часть 1

План курса

1. Основные понятия: связные и сильно-связные диаграммы Фейнмана, производящие функционалы связных и сильно-связных функций Грина, индекс расходимости диаграммы. Евклидов характер ультрафиолетовых (УФ) расходимостей и локальность УФ расходимостей примитивно расходящихся диаграмм. Нормальное упорядочение как простейший тип перенормировки.
2. Типы регуляризаций УФ расходимостей: аналитическая регуляризация, регуляризация Паули-Вилларса, регуляризация в α-представлении, регуляризация высшими ковариантными производными. Размерная регуляризация: аксиомы Вильсона, определение d-мерного интеграла, доказательство самосогласованности определения, продолжение определения к малым d, изменение порядка d-мерных интегрирований.
3. R-операция: расходимости и подрасходимости диаграмм, поверхностная расходимость, определение R-операции с помощью рекуррентных соотношений, вычитающие операторы и операторы конечной перенормировки. Решение рекуррентных соотношений: трехточечное произведение, явное выражение R-операции через вычитающие операторы и операторы конечной перенормировки, леса поддиаграмм, лесная формула.
4. Применение R-операции на примере вычисления расходимостей двухпетлевой диаграммы с перекрывающимися расходимостями в φ³-теории: явная проверка локальности поверхностной расходимости, процедура выделения подрасходимостей в α-представлении, вид расходимостей в рамках схемы вычитаний в импульсном пространстве и в схеме минимальных вычитаний, построение контрчлена в лагранжиане. Доказательство локальности поверхностных расходимостей произвольных диаграмм. Теорема Вейнберга. Высокоэнергетическое поведение фейнмановских интегралов. Контрчленная интерпретация вычитания расходимостей в общем случае: сопоставление контрчлена поверхностной расходимости, проверка соответствия симметрийных факторов.
5. Перенормировка квантовой электродинамики. Типы расходящихся диаграмм, тождество Уорда для производящего функционала сильно-связных функций Грина в лоренцевой калибровке и его следствия: поперечность поляризационного оператора электромагнитного поля, отсутствие взаимодействия продольных и поперечных квантов, конечность четырехточечной функции Грина электромагнитного поля, связь констант перенормировки спинорного поля и вершины взаимодействия. Тождество Уорда для перенормированного действия и перенормированного производящего функционала сильно-связных функций Грина. Физические условия перенормировки.
6. Поля Янга-Миллса (ЯМ): действие, уравнения движения, калибровочная инвариантность. Правила квантования Фаддеева-Попова (ФП): член, фиксирующий калибровку, духи ФП, производящий функционал функций Грина. Диаграмматика: пропагаторы полей ЯМ и духов ФП и вершины взаимодействия. Преобразования Бекки-Рюэ-Стора-Тютина (БРСТ): доказательство инвариантности квантового действия ФП, якобиан преобразования, вывод тождеств Славнова-Тейлора для функций Грина.
7. Перенормировка теорий ЯМ в обобщенной α-калибровке: типы расходящихся диаграмм, конечность духовых вершин взаимодействия, поперечность поляризационного оператора поля ЯМ, перенормировка полей ЯМ и духов ФП, достроение квантового действия ФП, тождества Славнова-Тейлора для перенормированных функций Грина и проверка конечности перенормированных вершинных функций Грина поля ЯМ.
8. Ренормализационная группа (РГ) в теории ЯМ: смена перенормировочного предписания, поведение функций Грина при мультипликативном переопределении полей и зарядов, выделение тензорных структур и условия нормировки на двух- и трехточечную фунции Грина поля ЯМ. Инвариантный заряд: функциональное РГ-уравнение для инвариантного заряда, дифференциальная форма РГ-уравнения, β-функция. Вычисление β-функции по расходимостям в теории с обрезанием в импульсном пространстве.
9. РГ в схеме минимальных вычитаний в рамках размерной регуляризации: массовый параметр т’Хоофта, условие РГ-инвариантности, общий вид голого заряда, уравнения т’Хоофта, интегральная форма выражения для голого заряда, нулификация голого заряда. Пример: вычисление однопетлевой β-функции в теории ЯМ с калибровочной группой SU(2). Асимптотическая свобода.

Литература

1. Дж. Коллинз, Перенормировка, М.: Мир, 1988.
2. О. И. Завьялов, Перенормированные диаграммы Фейнмана, М.: Наука, 1979.
3. A. J. Macfarlane, G. Woo, “φ³ theory in six dimensions and the renormalization group,” Nucl. Phys. B77, 91 (1974); B86, 548 (1975) (erratum).
4. S. Weinberg, “High-energy behaviour in quantum field theory,” Phys. Rev. 118, 838 (1960).
5. А. А. Славнов, Л. Д. Фаддеев, “Введение в квантовую теорию калибровочных полей,” М.: Наука, 1988.