Квантовые калибровочные теории с расширенной суперсимметрией. Часть 2

Аннотация

В первой части данного курса рассматривалось точное решение Зайберга-Виттена для низкоэнергетичного эффективного действия N=2 суперсимметричных калибровочных теорий. Хотя это решение и является точным, его вывод основан на непрямых аргументах — свойствах голоморфности и предположениях о строении сингулярностей препотенциала. В данном курсе излагается прямое вычисление всех инстантонных поправок в N=2 суперсимметричных калибровочных теориях, впервые произведенное Некрасовым. Для этого рассматривается общее мульти-инстантонное решение Атьи-Дринфельда-Хитчина-Манина и таким образом описывается некомпактное пространство модулей инстантонов. Затем вводится техника эквивариантного интегрирования, и показывается, что с помощью нее можно, во-первых, свести функциональный интеграл N=2 теории к интегралу по пространству модулей инстантонов с некоторой канонической мерой, а во-вторых, что расходящийся конечномерный интеграл по пространству модулей может быть регуляризован, и сводится к сумме по фиксированным точкам действия некоторой подгруппы группы евклидовых вращений. Демонстрируется, что полученный ряд при снятии регуляризации воспроизводит решение Зайберга-Виттена. Используя аргументы теории струн, можно показать, что полученные регуляризованные статистические суммы для широкого класса калибровочных теорий оказываются равны конформным блокам двумерных конформных теорий. Таким образом, вводится соответствие Алдая-Гайотто-Тачикавы между четырехмерными N=2 асимптотически суперконформными калибровочными теориями и двумерными конформными теориями. Разбираются следствия и обобщения этого соответствия.

План курса

• Твисторное преобразование. Мультиинстантонное решение Атьи-Дринфельда-Хитчина-Манина. Выбор калибровки, матричное представление решения. Колчанные многообразия Накаджимы.
• Эквивариантные когомологии. Теорема локализации в эквивариантных когомологиях. Фиксированные точки и фиксированные подмногообразия.
• N=2 калибровочная теория как топологическая квантовая теория поля. Топологический твист. Эквивариантный класс Тома. Локализация на пространство модулей инстантонов.
• Омега-деформация и эквивариантность по группе вращений в R^4. Эквивариантное интегрирование по пространству модулей инстантонов. Фиксированные точки.
• Инстантонная статсумма Некрасова и ее представления. Предел Зайберга-Виттена и восстановление препотенциала.
• Фиксированные точки пространства модулей инстантонов и фоковское пространство. Конформный блок теории свободного двумерного бозонного поля.
• Общий случай АГТ соответствия. Связь с кривой Гайотто. Калибровочные группы и W-алгебры. Проверки и доказательства.
• Вырожденные поля двумерной конформной теории и специальные точки в пространстве вакуумов омега-деформированной калибровочной теории. Операторы дефектов.
• Шестимерная N=(2,0) суперконформная теория поля и ее компактификации. Геометрия пространства калибровочных теорий. Проблема нелагранжевых теорий.
• Омега-деформированная калибровочная теория и квантовые интегрируемые системы. Предел Некрасова-Шаташвили. Уравнения Бете, потенциал Янга-Янга.
• S-дуальность калибровочной теории и соотношения бутстрапа двумерных конформных блоков. Интегральное ядро S-преобразования. Конечномерные представления модулярной группы.
• Пятимерные N=1 калибровочные теории и спектральная дуальность.