Метод континуального интеграла и его приложения к теории калибровочных полей

Преподаватель: Миронов Сергей Андреевич

Аннотация

Курс состоит из двух частей. В первой части излагаются основы метода континуального интегрирования. Вторая часть посвящена изложению теории калибровочных полей на основе метода континуального интеграла. Метод континуального интегрирования является в настоящее время одним из основных методов современной теоретической физики. Он широко применяется как в физике высоких энергий, так и в статистической механике и физике твердого тела. Овладение основами этого метода является неотъемлемой частью образования физика-теоретика. Калибровочные поля являются теоретической базой современной физики, описывающей взаимодействие элементарных частиц. Стандартная модель элементарных частиц, объединяющая электрослабые и сильные, ядерные взаимодействия описывает взаимодействия частиц путем обмена калибровочными полями. Она дает уникальную возможность описания в рамках квантовой теории поля явления асимптотической свободы и конфайнмента кварков. Хорошее знание теории калибровочных полей необходимо в настоящее время для любого физика. Многие результаты в теории калибровочных полей получены в настоящее время на основе метода континуального интеграла. Поэтому теория калибровочных полей дает естественную возможность для более глубокого ознакомления с этим важнейшим методом. Лекции сопровождаются практическими занятиями, на которых студенты с использованием полученных знаний самостоятельно решают важные задачи по теории калибровочных полей. В случае возникновения затруднений соответствующие проблемы обсуждаются на семинарах.

План курса

• Канонический формализм в классической и квантовой теории.
• Лагранжева и гамильтонова формулировка теории поля. Каноническое квантование. Постулаты квантовой теории. Различные картины описания квантово-механических систем. Оператор эволюции.
• Представление матричных элементов оператора эволюции в виде континуального интеграла по фазовому пространству.
• Представление в виде континуального интеграла по траекториям в фазовом пространстве и интеграла по координатной части фазового пространства. Вычисление матричного элемента оператора эволюции для свободной частицы.
• Голоморфное представление в квантовой теории.
• Формулировка, свойства, особенности и необходимость использования голоморфного представления в квантовой теории.
• Оператор эволюции для гармонического осциллятора в голоморфном представлении. Вычисление матричного элемента оператора эволюции для квантово-механического одномерного осциллятора в голоморфном представлении. Обобщение на случай квантовой теории поля.
• Матрица рассеяния в квантовой теории. Представления для матрицы рассеяния на внешнем классическом источнике. Матрица рассеяния в квантовой теории. Вывод представления для матрицы рассеяния на внешнем классическом источнике. Правила Фейнмана для матрицы рассеяния на произвольном потенциале.
• Матрица рассеяния в виде явно ковариантного континуального интеграла. Производящий функционал функций Грина.
• Представление для матрицы рассеяния и производящего функционала функций Грина в виде явно ковариантного континуального интеграла. Вывод граничных условий. Редукционная формула.
• Антикоммутирующие переменные в классической и квантовой теории. Континуальный интеграл по антикоммутирующим переменным.
• Необходимость введения антикоммутирующих переменных. Алгебра Грассмана. Определение интеграла по антикоммутирующим переменных, его свойства. Вывод представления для ядра матрицы рассеяния дираковского поля.
• Основы классической теории калибровочных полей.
• Калибровочная симметрия, калибровочные преобразования. Электромагнитное поле. Поле Янга-Миллса.
• Калибровочное поле как система со связями.
• Классическая динамика калибровочных полей. Каноническое квантование электромагнитного поля. Сведение электромагнитного поля к редуцированной системе.
• Квантование неабелевых калибровочных полей.
• Квантование поля Янга-Миллса в калибровке Кулона. Переход к калибровке Лоренца. Ковариантные правила Фейнмана для поля Янга-Миллса.
• Квантование моделей со спонтанно нарушенной симметрией. Релятивистски инвариантная перенормируемая диаграммная техника для моделей со спонтанно нарушенной симметрией. Спонтанное нарушение симметрии в Стандартной модели. Унитарная калибровка. Матрица рассеяния для моделей со спонтанно нарушенной симметрий. Диаграммы и правила Фейнмана.
• БРСТ-квантование. БРСТ-симметрия и ее свойства. БРСТ-заряд. Обобщенные тождества Уорда и их следствия&
• Инвариантные регуляризации. Способы инвариантной регуляризации. Регуляризация высшими ковариантными производными.

Литература

1. Р.Фейнман, А.Хиббс. Квантовая механика и интегралы по тpаектоpиям. — М.: Мир, 1968.
2. А.А.Славнов, Л.Д.Фаддеев. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. — М.: Наука, 1988.
3. В.Н.Попов. Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике. — М.: Атомиздат, 1976.
4. П.А.М.Дирак. Лекции по квантовой механике. — М.: Мир, 1986.
5. К.Ициксон, Ж.-Б.Зюбер. Квантовая теория поля. — М.: Мир, 1984.

 

Материалы для дополнительного изучения

D. Tong, "Lectures on gauge theory".