Интегрируемые системы

Преподаватель: Исаев Алексей Петрович

Аннотация

Математика классических интегрируемых систем очень интересна и богата, в ней естественным образом объединились функциональный анализ, теория функций, дифференциальная и алгебраическая геометрия, теория групп и алгебр Ли. Именно развитие теории интегрируемых систем привело и к новым открытиям в геометрии и алгебре - появлению квантовых групп с их богатым спектром приложений в геометрии, теории представлений, комбинаторике, теории графов и т.д. Курс посвящен изучению методов исследования, анализа и решения нелинейных уравнений математической физики. В основе современного подхода к интегрируемости лежит представление исследуемого уравнения в виде условия совместности вспомогательных линейных задач.

План курса

• Открытие солитона, история предмета.
• Уравнение Кортевега-де Фриза. Односолитонное решение. Пара Лакса. Интегрируемость уравнения КдФ.
• Псевдодифференциальные операторы. Иерархия КдФ.
• Уравнение Кадомцева-Петвиашвили (КП). Иерархия КП.
• Тау-функция для иерархий КдФ и КП.
• Уравнения Хироты. Многосолитонные решения уравнения КдФ.
• Вершинные операторы. Билинейные тождества. Фермионное представление вершинных операторов.
• Нелинейное уравнение Шредингера и его интегрируемость.
• Уравнение синус-Гордон и его интегрируемость. Солитоны и бризеры.
• Массивное уравнение Тирринга и его интегрируемость.
• Корневые системы алгебр Ли и интегрируемые модели. Обобщенные цепочки Тоды и обобщенные модели Калоджеро-Мозера-Сазерленда.

Литература

 Основная литература

 

Материалы для дополнительного изучения