«Квантовая гравитация и математическая физика»

Магистерская программа

Специалитет

Интегрируемые системы

Преподаватель: Исаев Алексей Петрович

Аннотация

Математика классических интегрируемых систем очень интересна и богата, в ней естественным образом объединились функциональный анализ, теория функций, дифференциальная и алгебраическая геометрия, теория групп и алгебр Ли. Именно развитие теории интегрируемых систем привело и к новым открытиям в геометрии и алгебре - появлению квантовых групп с их богатым спектром приложений в геометрии, теории представлений, комбинаторике, теории графов и т.д. Курс посвящен изучению методов исследования, анализа и решения нелинейных уравнений математической физики. В основе современного подхода к интегрируемости лежит представление исследуемого уравнения в виде условия совместности вспомогательных линейных задач.

План курса

  • Открытие солитона, история предмета.
  • Уравнение Кортевега-де Фриза. Односолитонное решение. Пара Лакса. Интегрируемость уравнения КдФ.
  • Псевдодифференциальные операторы. Иерархия КдФ.
  • Уравнение Кадомцева-Петвиашвили (КП). Иерархия КП.
  • Тау-функция для иерархий КдФ и КП.
  • Уравнения Хироты. Многосолитонные решения уравнения КдФ.
  • Вершинные операторы. Билинейные тождества. Фермионное представление вершинных операторов.
  • Нелинейное уравнение Шредингера и его интегрируемость.
  • Уравнение синус-Гордон и его интегрируемость. Солитоны и бризеры.
  • Массивное уравнение Тирринга и его интегрируемость.
  • Корневые системы алгебр Ли и интегрируемые модели. Обобщенные цепочки Тоды и обобщенные модели Калоджеро-Мозера-Сазерленда.

Литература

 Основная литература

  1.  В.Е. Захаров, С.В. Манаков, С.П. Новиков, Л.П. Питаевский. Теория солитонов. Метод обратной задачи, М.: Наука, 1980.
  2.  М. Абловиц, Х. Сигур. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987
  3.  Dunajski, M. (2009) Solitons, Instantons and Twistors, Oxford Graduate Texts in Mathematics 19, OUP, Oxford.

 Дополнительная литература

  1. А. Ньюэлл. Солитоны в математике и физике. М.: Мир, 1989.
  2. Дж.Б. Уизем. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977
  3. O. Babelon, D. Bernard, M. Talon, Introduction to Classical Integrable Systems, Cambridge monographs on mathematical physics, 2003

 

Материалы для дополнительного изучения

Лекции А.П.Исаев, Quantum Groups and Yang--Baxter Equations.

1-й курс
обязательный
осенний