Элементы теории конденсированного состояния. Часть 1

Аннотация

Цель данного курса лекций - познакомить начинающих исследователей из области теоретической и математической физики с тем, как основные методы теории поля (формализм континуального интеграла, диаграмматика, ренормгруппа,  квантовые методы Монте-Карло) применяются для интерпретации, описания и численных расчетов в физике конденсированного состояния. Упор будет сделан на типичные в физике конденсированного состояния явления, проявляющиеся в системах с нарушенной трансляционной симметрией (то есть, сосредоточенных либо определенных на дискретной решетке). Курс дополнен большим количеством практических задач, которые будут разбираться на занятиях.

План курса

1. Многочастичные системы с сосредоточенной нелинейностью: равновесные свойства

Модель Кондо.  Твердотельные Кондо-системы. Расходимость теории возмущений. Температура Кондо. Ренормгрупповой подход. Асимптотическая свобода в модели Кондо.

Примеры заданий: оцените температуру Кондо для системы с локализованным спином S=1.

Примесная модель Андерсона.  Хаббардовские подзоны. Методы численного анализа примесной модели Андерсона. Квантовые методы Монте-Карло – разложения по взаимодействию и гибридизации. 

Примеры заданий: заменив непрерывную плотность состояний окружения на набор из 2-3 дискретных пиков, построить плотность состояний в модели Андерсона методом точной диагонализации. 

2. Открытые квантовые системы. Декогеренция

Понятие об открытой квантовой системе (ОКС).  Примеры типовых открытых квантовых систем. Модель открытой квантовой системы в гармоническом окружении с билинейным взаимодействием. Описание состояния ОКС  в терминах матрицы плотности. Пример двухуровневой системы: сфера Блоха. Приближение Борна-Маркова. Управляющее уравнение для матрицы плотности – уравнение Линдблада. Обсуждение основных эффектов на примере двухуровневой системы: диссипация и декогеренция. Резонансная флюоресценция.   Необратимость, производство энтропии, стремление к стационарному неравновесному состоянию.

Примеры заданий:  1) найти точное решение для модели гармонического осциллятора в гармоническом окружении, для случая статистики Ферми и Бозе.  Обсудить физический смысл решения; 2) определить вид уравнения Линдблада для нескольких предложенных моделей.

Общее вид управляющего уравнения для ОКС. Физические ограничения. Вполне положительные отображения. Теорема Крауса. Квантовая динамическая полугруппа. Уравнение Линдблада для динамической полугруппы.  Связь с теорией непрерывных квантовых измерений. 

Примеры заданий:  построить на сфере Блоха траекторию спонтанно излучающей двухуровневой ОКС. В какой момент времени запутанность между ОКС и излученным полем максимальна? 

3. Решетки

Теорема Блоха. Метод функционала плотности. Корреляции. Низкоэнергетический гамильтониан для электронов коррелированного материала. Понятие о топологических изоляторах.

Примеры заданий:  Определить закон дисперсии для цепочки Китаева.

4. Решетки высокой размерности

Ферми-жидкость, теорема Латтинжера. Переход Мотта-Хаббарда. Предел большой размерности (координационного числа). Решетка Бете. Динамическая теория среднего поля – элементарный вывод, диаграммная интерпретация. 

Примеры заданий:  Построить уравнения метода когерентного потенциала для неупорядоченных систем.

5. Одномерные системы

Жидкость Латтинжера. Звуковые возбуждения в одномерных Ферми-системах. Spin-charge separation. Возбуждения с конечным импульсом. 

Примеры заданий:  Определить скорость звука в одномерной Ферми-жидкости со слабым взаимодействием.

6. Низкоразмерные системы

Верхняя и нижняя критическая размерность, критерий Гинзбурга. Голдстоновсие бозоны.  Теорема Мермина-Вагнера. Переход Березинского-Костерлица-Таулесса. Ренормгруппа для БКТ систем.

Примеры заданий:  Оценить нижнюю критическую размерность для модели Изинга в случайном поле.