Куратор: Ольга Сергеевна Чекерес (olya.chekeres@gmail.com)
Для участия в школе студент должен:
1. Зарегистрироваться на странице мероприятия на научном портале "Ломоносов" https://lomonosov-msu.ru/rus/event/8450/
2. Выбрать интересующие темы по одному из предложенных курсов.
3. Отправить куратору курса список интересующих тем в порядке убывания предпочтения. Куратор зарезервирует свободную тему и напишет об этом.
4. После утверждения выбранной темы преподавателем студент должен до 03 января 2024 года подготовить и прислать куратору конспект темы в формате pdf (не более 2 стр., набранных в LaTeX). По итогам обсуждения конспекта будет принято решение об участии студента в зимней школе. Мы просим заинтересованных студентов присылать конспекты заранее, чтобы успеть изменить их в соответствии с замечаниями кураторов.
5. Отбор участников будет завершен к 10 января 2024 года.
Аннотация курса:
Калибровочные теории являются одним из красивейших примеров переплетения математики и теоретической физики. С точки зрения физики, они лежат в самом сердце современного понимания фундаментальных законов природы. Так, например, Стандартная модель – неабелева калибровочная теория с калибровочной группой G = U(1) × SU(2) × SU(3). В то же время природа калибровочных теорий по сути геометрическая. Естественная математическая конструкция для их описания - теория главных расслоений, связностей и кривизн.
Особое значение в калибровочных теориях имеют физически наблюдаемые, калибровочно инвариантные величины - "наблюдаемые".
В данном курсе мы рассмотрим физический и геометрический подходы к калибровочным теориям, а затем обратим особое внимание на нелокальные наблюдаемые.
Темы докладов:
1. Примеры калибровочных теорий в современной физике.
[а] Неабелевы калибровочные теории. Теория Янга–Миллса.
Определить калибровочное поле, принимающее значения в алгебрах Ли. Записать действие для калибровочного поля Янга-Миллса в отсутствие других полей. Объяснить роль ковариантной производной. Определить калибровочное преобразование для поля Янга-Миллса, исходя из требования к преобразованию ковариантной производной. Проиллюстрировать калибровочную инвариантность действия. Получить уравнения движения. Является ли тензор напряженности калибровочного поля физической величиной?
[б] Теория Максвелла как частный случай теории Янга–Миллса.
Записать действие Максвелла. Записать калибровочное преобразование для динамических переменных. Показать, что уравнения Янга-Миллса сводятся к уравнениям Максвелла при выборе калибровочной группы G = U(1). Показать, что два уравнения в ковариантной формулировке (через тензор напряженности электромагнитного поля) эквивалентны четырем уравнениям в терминах электрического и магнитного полей. Какие величины являются физическими?
Литература [а]: [1] 4.2-4.3; [6] 1.1.1
Литература [б]: [1] 1.1-1.2; [9] 3.51
2. Геометрический аппарат калибровочных теорий.
[а] Дифференциальные формы.
Дифференциальные формы. Дифференциал де Рама d. Градиент, дивергенция и ротор на языке дифференциальных форм, интерпретация d2 = 0 в терминах градиента, дивергенции и ротора. Точные и замкнутые дифференциальные формы. Интегрирование дифференциальных форм, Теорема Стокса (без доказательства). Звезда Ходжа.
[б] Связность на главном расслоении.
Главное расслоение. Связность на главном расслоении. Геометрический смысл калибровочной симметрии: показать, что выбор локального сечения, определяющего локальную связность, соответствует калибровочному преобразованию калибровочного поля.
Литература [а]: [5] §1, §3; [10] 5.4-5.5, 7.9.1-7.9.2
Литература [б]: [10] 9.4.1, 10.1.1-10.1.3, 10.3; [6] 1.1.2 1
3. Геометрическое описание калибровочных теорий.
[а] Ковариантная производная и кривизна. Определение кривизны.
Тождество Бьянки для кривизны. Локальная кривизна и геометрическое определение калибровочного преобразования для кривизны.
[б] Уравнения Янга–Миллса и Максвелла на языке дифференциальных форм.
Литература [а]: [10] 9.4.1, 10.1.1-10.1.3, 10.3; [6] 1.1.2
Литература [б]: [10] Example 5.11, 10.1.3, 10.3, 10.5.1, 10.5.4; [6] 1.1.2
4. Одномерные нелокальные наблюдаемые. Вильсоновская петля.
[а] Понятие нелокальной наблюдаемой.
Осознать отличие нелокальных наблюдаемых от локальных.
[б] Параллельный перенос вдоль замкнутой кривой.
Понятие параллельного переноса. Получить элемент группы голономии связности в качестве решения дифференциального уравнения для параллельного переноса. Определить Вильсоновскую петлю как след элемента группы голономии связности, вычисленный в некотором представлении.
Литература [а]: [13] VII.1 Wilson loop; [1] 1.2; [12]
Литература [б]: [10] 10.1.4, 10.2
5. Геометрия коприсоединенных орбит для компактных групп Ли.
Присоединенное представление. Коприсоединенное представление. Орбиты коприсоединенного действия группы. Найти коприсоединенные орбиты для группы G = SU(2). Описать коприсоединенные орбиты как симплектические многообразия. Прокомментировать условие существования пресимплектического потенциала. Симплектическая форма Кириллова.
Литература: [6] 1.3.1-1.3.2; [7] Chapter 1: 1.1-1.2, 2.1-2.2; [14]
6. Вильсоновская петля как функциональный интеграл.
[а] Одномерная сигма-модель с коприсоединенной орбитой в качестве таргета.
Заметить, что формула Вильсоновской линии соответствует следу оператора эволюции одномерной квантовой системы. Квантование симплектического фазового пространства методом функционального интеграла. Записать действие для Вильсоновской линии.
[б] Представление Дьяконова-Петрова для Вильсоновской петли.
Используя теорему Стокса, переписать действие для Вильсоновской петли как действие для поверхности, ограниченной петлей. Заметить, что форма Дьяконова-Петрова содержит симплектическую форму Кириллова. Литература [а]: [6] 1.3.3 (без геометрического квантования), 1.3.4; [2] 3.1; [4] 4.1 (для очень мотивированного читателя)
Литература [б]: [2] 3.2
В рамках курса будет прочитана лекция:
1. Другие примеры одномерных наблюдаемых: петля ’тХофта. Подходы к построению двумерной наблюдаемой: Вильсоновская поверхность. Высшие размерности. Открытые вопросы.
Список литературы:
[1] В.А. Рубаков, Классические калибровочные поля. Бозонные теории.
[2] A. Alekseev, O. Chekeres, P. Mnev, Wilson surface observables from equivariant cohomology, JHEP 11 (2015) 093 [arXiv:1507.06343].
[3] J. Baez, J. P. Muniain, Gauge fields, knots and gravity.
[4] C. Beasley, Localization for Wilson Loops in Chern-Simons Theory, in J. Andersen, H. Boden, A. Hahn, and B. Himpel (eds.) Chern-Simons Gauge Theory: 20 Years After AMS/IP Studies in Adv. Math. 50 (2011), Adv. Theor. Math. Phys. 17 (2013) 1 [arXiv:0911.2687].
[5] R. Bott, L. W. Tu, Differential forms in algebraic topology.
[6] O. Chekeres, Wilson surface theory, Ph.D. thesis manuscript, Universit´e de Gen`eve, 2019, https://doi.org/10.13097/archive-ouverte/unige:119431
[7] A. A. Kirillov, Lectures on the orbit method.
[8] J. M. Lee, Manifolds and differential geometry.
[9] M. Maggiore, A modern introduction to quantum field theory.
[10] M. Nakahara, Geometry, topology and physics
[11] D. Tong, Lectures on Gauge Theory, http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/gaugetheory.html
[12] K. Wilson, Confinement of quarks, Phys. Rev. D 10 (1974) 2445.
[13] A. Zee, Quantum field theory in a nutshell.
[14] https://ncatlab.org/nlab/show/SU%282%29
