Куратор: Дмитрий Пономарев (dponomarev2002@yandex.ru)
Студент должен зарегистрироваться, затем выбрать несколько тем и отправить список куратору курса в порядке убывания предпочтения. По каждой из тем может быть максимум трое докладчиков. Если тема полностью занята, куратор курса напишет об этом в ответном письме. После утверждения выбранной темы преподавателем студент должен подготовить и прислать конспект темы (не более 2 стр. в системе LaTeX). По итогам обсуждения конспекта будет принято решение об участии студента в зимней школе. Мы просим заинтересованных студентов регистрироваться и выбирать темы как можно раньше, поскольку количество тем и мест ограничено.
Темы докладов:
1) Алгебры Ли и их представления. Основные определения, свойства, примеры.
а) Определение алгебры Ли. Пример алгебры Ли.
б) Определение представления алгебры Ли. Присоединенное представление.
в) Другие примеры.
г) Форма Киллинга (инвариантный след).
Литература: [1] части 3.2, 3.3, 3.4; [2] §1; [3] часть 25.1; на выбор студента.
2) Теория Янга-Миллса.
а) Локальные симметрии, ковариантные производные.
б) Действие Янга-Миллса.
в) Проиллюстрировать замыкание калибровочных преобразований и калибровочную инвариантность действия.
г)* Геометрический смысл: связность на главном расслоении.
Литература: [4] часть 69; [1] части 4.1, 4.2; [3] части 25, 25.1, 25.2; [5] часть 10.1; на выбор студента.
Часть г) не обязательно.
3) Теория Янга-Миллса как теория взаимодействующих полей спина 1.
а) Линеаризовать действие Янга-Миллса, воспроизвести набор полей Максвелла.
б) Фиксировать поперечную калибровку.
в) Классификация унитарных неприводимых представлений группы Пуанкаре (обзорно).
г) Проиллюстрировать что поля Максвелла являются безмассовыми полями спина 1.
Литература: [6] часть 2, часть 3.1 и 3.2 для случая s=1; [3] части 8.1, 8.2.
4) Формы релятивистской динамики.
Литература: [7], часть 6 не обязательно.
5) Калибровка светового конуса в теории Янга-Миллса.
а) Наложить калибровку светового конуса в теории Максвелла.
б)* Вывести действие преобразований Пуанкаре на поля в калибровке светового конуса (следует учесть, что те преобразования Лоренца, которые нарушают калибровку светового конуса должны сопровождаться калибровочным преобразованием, которое эту калибровку восстанавливает).
в)* Наложить калибровку светового конуса в теории Янга-Миллса.
Литература: [8] часть 10.5; [6] части 13.1, 13.2 в случае s=1;
Пункт б) — это несложная задача. Предполагается, что студент ее решит. Ответ можно найти в [6], часть 13.1. Пункт в) - тоже задача. Не обязательно.
6) Связи и заряды для теории Максвелла в калибровки светового конуса с точки зрения Гамильтонова подхода.
а)* Вывести скобку Дирака для поля спина 1 в калибровке светового конуса (Данная теория линейна по первым производным, следовательно содержит связи второго рода. Это приводит к тому, что скобка Пуассона должна быть заменена на скобку Дирака)
б) Вывести заряды алгебры Пуанкаре
Литература: [9]; [6] часть 13.3 для s=1.
Пункт а) - это задача], которая подразумевает умение работать с гамильтоновыми системами со связями. Аналогичная задача детально разобрана в [9]. Ответ дан в [6], часть 13.3.
Список литературы:
[1] «Классические калибровочные поля» В. А. Рубаков.
[2] «Theory of group representations and applications» A. O. Barut, R. Raczka.
[3] «Quantum field theory and the Standard Model» M. D. Schwartz.
[4] «Quantum field theory» M. Srednicki.
[5] «Geometry Topology and Physics», M. Nakahara.
[6] «Basic introduction to higher-spin theories», D. Ponomarev, arXiv:2206.15385.
[7] «Forms of Relativistic Dynamics», P. A. M. Dirac, Rev. Mod. Phys 21 (1949) 392-399.
[8] «A first course in string theory», B. Zwiebach.
[9] «Dirac bracket», wikipedia.
