Двумерные сигма-модели

Куратор: Дмитрий Быков (dmitri.v.bykov@gmail.com)

Студент должен зарегистрироваться, затем выбрать несколько тем и отправить список куратору курса в порядке убывания предпочтения. По каждой из тем может быть максимум трое докладчиков. Если тема полностью занята, куратор курса напишет об этом в ответном письме. После утверждения выбранной темы преподавателем студент должен подготовить и прислать конспект темы (не более 2 стр. в системе LaTeX). По итогам обсуждения конспекта будет принято решение об участии студента в зимней школе. Мы просим заинтересованных студентов регистрироваться и выбирать темы как можно раньше, поскольку количество тем и мест ограничено.

Темы докладов:

1. Механическая частица на римановом многообразии. Однородные, изотропные и симметрические пространства G/H. R^n как однородное пространство группы Пуанкаре. Инвариантные метрики на однородных пространствах. Сферы S^{2n-1} как однородные пространства групп SO(2n) и SU(n); метрики на них; Отображение Хопфа S^3->S^2.

Литература: [P], [Z, 2, 4] [U]

2. Уравнения Гамильтона в терминах симплектической геометрии. Конфигурационное и фазовое пространство. Калибровочные поля в механике: связь с симплектической редукцией. Определение кэлеровых многообразий; кэлеров потенциал. Примеры: проективные пространства, грассманианы. Вспомогательное калибровочное поле в случае CP^{n-1}-модели (GLSM).

Литература: [A, 8] [HT] [CS, 6, 7] [Pol, 8.3]

3. Механическая частица в электромагнитном поле. Случай внешнего SU(2)-поля; сфера S^2 как фазовое пространство. `Квантование’ сферы S^2; связь с теорией представлений SU(2). Осцилляторные представления для операторов спина. SU(n) случай: многообразия флагов.

Литература: [ABW, 2] [P, 6]

4. Квантовая механика частицы на однородных пространствах. Пример сферы S^2. Спектр Лапласиана. Лапласиан как оператор Казимира. Разложение L^2(S^2) по представлениям su(2). Вычисление значения оператора Казимира при помощи спиновых операторов.

 Литература: [K, 4, 5] [ABW, 2]

5. Двумерные сигма-модели. Примеры таргет-пространств: G (группа) и G/H (кэлерово многообразие). Полностью геодезическое вложение симметрических пространств G/H в G. Топологические члены в сигма-моделях двух типов. WZNW-член в механических (1D) моделях и в двумерных моделях.

Литература: [E, 2] [P, 1,2,3] [ABW, 2] [W]

6. Метрика сферы в стереографических координатах. CP^{n-1} сигма-модель. Метрика Фубини-Штуди. Голоморфные кривые (отображения) как решения уравнений движения. Решения уравнений движения сигма-модели с условиями убывания на бесконечности.

Литература: [NT, 4.2] [P, 3] [CS, 16] [B]

Список литературы:

1. [A] В.И.Арнольд, Математические методы классической механики, УРСС (2017);
2. [CS] A. Cannas da Silva, Lectures on Symplectic Geometry, Springer-Verlag;
3. [E] L.Eberhardt, Wess-Zumino-Witten models, https://conf.itp.phys.ethz.ch/esi-school/Lecture_notes/WZW%20models.pdf;
4. [Z] K. Zarembo, Integrability in Sigma-Models, e-Print: 1712.07725 [hep-th], Les Houches Lect.Notes 106 (2019);
5. [ABW] I. Affleck, D. Bykov, K. Wamer, Flag manifold sigma models: Spin chains and integrable theories, e-Print: 2101.11638 [hep-th], Phys.Rept. 953 (2022), 1-93;
6. [P] A.M. Perelomov, Chiral Models: Geometrical Aspects, Phys.Rept. 146 (1987) 135-213;
7. [Pol] A.M.Поляков, Калибровочные поля и струны, Регулярная и хаотическая динамика (1999);
8. [B] D.Bykov, Classical solutions of a flag manifold sigma-model, Nucl.Phys.B 902 (2016) 292-301 • e-Print: 1506.08156 [hep-th];
9. [W] E.Witten, Global aspects of current algebra, Nucl.Phys.B 223 (1983) 422-432;
10. [NT] С.П.Новиков, И.А.Тайманов, Современные геометрические структуры и поля, МЦНМО (2005);
11. [U] Urbantke, H.K. (2003), "The Hopf fibration-seven times in physics», J.Geom.Phys. 46 (2): 125–150;
12. [HT] Howe, P. S., & Townsend, P. K. (1990). Chern-Simons quantum mechanics. Classical and Quantum Gravity, 7(9), 1655–1668;
13. [K] A. Kirillov, Introduction to Lie Groups and Lie Algebras.