Калибровочные поля, связности и супергеометрия

Куратор: Максим Григорьев (grigoriev@itmp.msu.ru)

Студент должен зарегистрироваться, затем выбрать несколько тем и отправить список куратору курса в порядке убывания предпочтения. По каждой из тем может быть максимум трое докладчиков. Если тема полностью занята, куратор курса напишет об этом в ответном письме. После утверждения выбранной темы преподавателем студент должен подготовить и прислать конспект темы (не более 2 стр. в системе LaTeX). По итогам обсуждения конспекта будет принято решение об участии студента в зимней школе. Мы просим заинтересованных студентов регистрироваться и выбирать темы как можно раньше, поскольку количество тем и мест ограничено.

Аннотация:

Переносчиками фундаментальных взаимодействий в природе являются калибровочные поля. С точки зрения геометрии, калибровочные поля являются связностями в некоторых расслоениях. С другой стороны, многие объекты теории поля и дифференциальной геометрии могут изящно описываться на языке супергеометрии, т.е. геометрии пространств с бозонными и фермионными координатами.  Существует глубокая связь между  таким описанием и современными методами построения и квантования калибровочных теорий, известными как БРСТ формализм. В рамках курса, мы познакомимся с элементами супергеометрии и используя ее как простой и удобный язык познакомиться с примерами калибровочных полей и и их геометрическим описанием. Также будут рассмотрены простейшие примеры использования БРСТ формализма для построения калибровочных теорий.

Темы докладов:

1. Комплекс Де-Рама и лемма Пуанкаре в терминах супергеометрии. Комплекс де Рама как супермногообразие. Q-многообразия. 

    a. Используя отождествление дифференциальных форм на $M$ с функциями на нечетном касательном расслоении $T[1]M$, сформулировать и доказать лемму Пуанкаре. [Ro, CS]

    b. Используя отождествление дифференциальных форм с функциями на нечетном касательном расслоении, показать, что производная Ли дифференциальных форм представляется векторным полем на $T[1]M$ и доказать “магическую” формулу Картана $d i_X+i_X d=L_X$ [Ro, CS]

2. Векторные расслоения и связности в них. Кривизна.  Действия Черна-Саймонса и Янга-Миллса. Калибровочная инвариантность.

    a. Показать как векторное расслоение можно задавать в терминах покрытия и функций склейки. [M,Lee]

    b. Главные G-расслоения и ассоциированные расслоения. Связность в главном расслоении. Калибровочные преобразования. [Lee]

    c. Действие Черна-Саймонса, действие Янга-Миллса. Найти вариацию  действия Черна-Саймонса при калибровочном преобразовании.

    d. Кривизна и кручение в касательном расслоении. Действие гравитации в терминах связности алгебры Пуанкаре. [Ve,Wi] Связности Картана. [Wi]

3. Связности как нечетные векторные поля.

    a. Показать что имеется взаимооднозначаное соответствие между связностями в векторном расслоении $V \to X$ и нечетными векторными полями на прямой сумме $V \oplus T[1]X$ вида $d+\Gamma$, где $\Gamma$ линеен по координатам на слоях. [Ro]

    b. В условиях предыдущей задачи показать что кривизна выражается через  $Q^2$. В частности, для плоской связности $Q^2=0$. [Ro]

4. Q-многообразия. Пример алгеброида Ли. Алгеброид Куранта.

    a. Показать, что  алгеброиды Ли находятся во взаимнооднозначном соответсвии с Q-многообразиями, где присутствуют координаты градуировки 1 и 0. [Va]

    b. Алгеброид Куранта. [Roy]

5. BRST комплекс калибровочной теории. Продольный дифференциал. Дифференциал Кошуля.

    a. Система со связями первого рода. Калибровочная инвариантность гамильтонова действия ( [HT])

    b. Показать что для регулярных связей можно построить дифференциал Кошуля ([HT])

    c. Релятивистская частица в гамильтоновом формализме. Связи и БРСТ заряд ([HT]).

    d. Показать, что со всякой гамильтоновой системой со связями первого рода, можно связать алгеброид Ли, заданный  на поверхности связей [HT,Va].

6. AKSZ конструкция для топологических теорий. Пуассонова сигма-модель. 

    a. Найти калибровочные инвариантности действия Пуассоновой сигма модели [I]

    b. Построить действие Черна-Саймонса в AKSZ формализме [AKSZ]

    c. Построить действие топологической теории, отвечающей алгеброиду Куранта [Roy]

Список литературы:

1. [Le] Д. А. Лейтес, “Введение в теорию супермногообразий”, УМН, 35:1(211) (1980), 3–57; Russian Math. Surveys, 35:1 (1980), 1–64 http://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=rm&paperid=3160&what=fullt&option_lang=rus
2. [Ro] A. Rogers. Supermanifolds: Theory and applications. World Scientific Publishing. Ltd., Hackensack, NJ, 2007.
3. [M] Мищенко А.С. Векторные расслоения и их применения.
4. [Lee] Lee, Jeffrey M. Manifolds and Differential Geometry. Graduate Studies in Mathematics.
5. [CS] A.S.Cattaneo and F.Schaetz, ``Introduction to supergeometry,''  Rev. Math. Phys. 23, 669 (2011)  http://arxiv.org/abs/arXiv:1011.3401
6. [Ve] Лекции по теории гравитации, Вергелес С.Н. (13.2).
7. [Wi]  Wise, D. K. Symmetric space Cartan connections and gravity in three and four dimensions (2009) https://arxiv.org/abs/0904.1738
8. [Va] А. Ю. Вайнтроб, Алгеброиды Ли и гомологические векторные поля, УМН, DOI: https://doi.org/10.4213/rm831
9. [HT] M. Henneaux and C. Teitelboim, Quantization of Gauge Systems.
10. [I] Ikeda, N. Lectures on AKSZ Topological Field Theories for Physicists 2012, https://arxiv.org/pdf/1204.3714
11. [AKSZ]  M. Alexandrov, M. Kontsevich, A. Schwarz, and O. Zaboronsky. The geometry of the Master equation and topological quantum field theory. Int. J. Modern Phys. A, 12(7):1405–1429, (1997). http://arxiv.org/abs/hep-th/9502010
12. [Roy] D. Roytenberg, “AKSZ–BV Formalism and Courant Algebroid-Induced Topological Field Theories.” Letters in Mathematical Physics 79.2 (2006). http://arxiv.org/abs/hep-th/0608150