Куратор: Дмитрий Левков (levkov@ms2.inr.ac.ru)
Аннотация:
В курсе рассматриваются черные дыры и связанные с ними особенности общей теории относительности. Предполагается, что студенты знакомы с основными понятиями римановой геометрии и специальной теории относительности.
Для отбора на школу необходимо:
а. Выбрать тему из списка ниже и написать об этом куратору, чтобы зафиксировать ее за собой. Одну и ту же тему могут выбрать не более 3 человек. В ответном письме куратор пришлет необходимую литературу.
б. Предоставить конспект части доклада по одной из тем либо решение задач, связанных с этой темой (около 2 стр, набранных в LaTeX).
Темы докладов:
1. Симметрии искривленного пространства-времени.
Производная Ли, уравнение Киллинга. Показать, что поля Киллинга образуют алгебру Ли. Найти векторы Киллинга на двумерной сфере и в пространстве анти-де-Ситтера. Вычислить их коммутаторы. Какие алгебры получилась? Количество решений уравнения Киллинга. Пространства постоянной кривизны.
Литература: [1], Appendix C, Ch. 5.1; [2], Section 1.3; [3], том 2, параграфы 25.2, 23.2; [4], параграфы 23, 24.
2. Геодезические (тема занята).
Принцип наименьшего действия для точечной частицы. Уравнение геодезической. Связь сохраняющихся величин с векторами Киллинга. Общий вид сферически-симметричной метрики. Пространство Шварцшильда. Найти геодезические в пространстве Шварцшильда. Тесты ОТО - один пример. Вычислить собственное время падающего наблюдателя до пересечения горизонта.
Литература: [1], Ch. 3.3, Appendix C, Ch. 6.1, 6.3; [2], глава 25; [5], параграфы 100, 101.
3. Теоремы о сингулярностях.
Что такое сингулярность? Семейства времениподобных геодезических. Уравнение Райчаудхури. Условия энергодоминантности. Теорема о сопряженных точках (без доказательства). Теоремы о космологической сингулярности. Коллапс. Семейства светоподобных геодезических. Теорема о сингулярности черной дыры (без доказательства).
Литература: [6], глава 2; [3], том 3, главы 33, 34; [1], Ch. 3.3, Ch. 9.
4. Асимптотически-плоские пространства.
Причинная структура пространства Минковского. Конформная бесконечность и нефизические координаты. Определение асимптотически-плоского пространства-времени. Координаты Бонди. Группа преобразований BMS (Бонди-Мезнера-Сакса). Супертрансляции. Подгруппа Пуанкаре. Показать, что пространство Шварцшильда является асимптотически плоским. Диаграммы Картера-Пенроуза для плоского пространства. Светоподобные, пространственные, и временные бесконечности.
Литература: [1], Ch. 11; [7], Secs. 5.1, 5.2, 5.3; [3], том 3, главы 34.2, 34.3.
5. Причинная структура черных дыр (тема занята).
Геодезическая неполнота пространства Риндлера. Расширение пространства. Координаты Крускала и диаграмма Пенроуза для пространства Шварцшильда. Cингулярность, горизонт, внутренность черной дыры. Гипотеза космической цензуры. Причинная диаграмма для заряженной черной дыры. Диаграмма для коллапса тонкой светоподобной оболочки.
Литература: [1], Ch. 6.4, 12.1, 12.2, 12.3; [3], том 3, главы 31, 34; [6], Ch. 3.9, 5.1, 5.2.
6. Энтропия черной дыры.
Теорема об увеличении площади горизонта черной дыры. Периодичность пространства Шварцшильда в евклидовом времени. Евклидов функциональный интеграл для статистической суммы квантовой системы в состоянии термодинамического равновесия. Периодические граничные условия для бозонных полей. Черная дыра Шварцшильда как инстантон евклидового функционального интеграла. Вычисление энтропии по статистическим формулам.
Литература: [3], том 3, параграф 34.5; [6], Ch. 5.5.5; [8], приложение D; [9].
7. Термодинамика черных дыр (тема занята).
Вращающаяся заряженная черная дыра как наиболее общее решение в ОТО. Нулевое начало: теорема об отсутствии волос. Первое начало: закон сохранения энергии. Второе начало: теорема об увеличении площади горизонта. Вычисление энтропии черной дыры с помощью формулы для температуры Хокинговского излучения. Энтропия заряженной и вращающейся черных дыр.
Литература: [3], главы 33.1, 33.2; [6], Ch. 5.5; [1], Ch. 12;
Список литературы:
- R.M. Wald “General Relativity”, University of Chicago Press, 1984.
- C. Charmousis, “Anti De Sitter Black Holes”.
- Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер, “Гравитация”, тома 2, 3, М:Мир, 1977.
- Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко, “Современная геометрия”, М: Наука, 1986.
- Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц “Теоретическая физика”, том 2 “Теория поля”.
- E. Poisson “A Relativist’s Toolkit”, Cambridge University Press, 2004.
- A. Strominger “Lectures on the Infrared Structure of Gravity and Gauge Theory”, arXiv: 1703.05448, https://arxiv.org/pdf/1703.05448.pdf .
- Д.С. Горбунов, В.А. Рубаков, “Введение в теорию ранней Вселенной”, т. 1 “Теория горячего большого взрыва”, Москва, 2006.
- Gibbons, G. W., & Hawking, S. W. (1977). Action integrals and partition functions in quantum gravity. Physical Review D, 15, 2752.
