-
кандидат физико-математических наук
Куратор: Дмитрий Пономарёв (dponomarev2002@yandex.ru)
Для участия в школе студент должен:
1. Зарегистрироваться на странице мероприятия на научном портале "Ломоносов".
2. Выбрать интересующие темы по одному из предложенных курсов.
3. Отправить куратору курса список интересующих тем в порядке убывания предпочтения. Пожалуйста, укажите в том же письме название Вашего вуза и год обучения. Куратор зарезервирует свободную тему и напишет об этом.
4. После утверждения выбранной темы преподавателем студент должен до 03 января 2026 года подготовить и прислать куратору конспект темы в формате pdf (не более 2 стр., набранных в LaTeX). По итогам обсуждения конспекта будет принято решение об участии студента в зимней школе. Мы просим заинтересованных студентов присылать конспекты заранее, чтобы успеть изменить их в соответствии с замечаниями кураторов.
5. Отбор участников будет завершен к 10 января 2026 года.
Темы докладов:
1. Симметрическая группа. Регулярное представление. Диаграммы Юнга и неприводимые представления симметрической группы.
Литература: [1], Sect. 4.1; [2] Sect. 4.1.
2. Конечномерные представления GL(D). Неприводимые представления, разложение тензорного произведения представлений на неприводимые представления. Конечномерные неприводимые представления ортогональной группы.
Литература: [1], Sect. 4.2, 4.3; [3] Sect. E.1, E.2.
3. Ассоциативные алгебры и их представления. Тензорная, симметрическая и внешняя алгебры. Идеал, факторизация по идеалу. Алгебры Ли.
Литература: [4], Sect. 1.
4. Универсальная обертывающая алгебра. Теорема Пуанкаре-Бирхоффа-Витта. Лемма Шура, центральные элементы и операторы Казимира. Вейлевское упорядочение и звездочное произведение (по желанию).
Литература: [4], Sect. 2, 3; [5], Sect. 9.3; [9] Разд. 4.7.1, 4.7.2.
5. Конформные преобразования в старших размерностях. Формализм объемлющего пространства.
Литература: [6], Sect. 1.3.3, 2.1; [7], Sect 2 (до 2.1), Sect 3, 3.1.
6. Высшие симметрии лапалсиана в плоском пространстве. Постановка задачи, общее решение для преобразования симметрии лапласиана в объемлющем пространстве, алгебраическая структура (достаточно найти закон композиции для двух преобразований с одной производной).
Литература: [8], Sect. 1-4.
Список литературы:
[1] X. Bekaert, N. Boulanger, "The unitary representations of the Poincare group in any spacetime dimension», SciPost Phys.Lect.Notes 30 (2021) 1, [hep-th/0611263].
[2] W. Fulton and J. Harris, «Representation Theory. A First Course», Springer 1991.
[3] V. Didenko and E. Skvortsov, «Elements of Vasiliev theory», Lect.Notes Phys. 1028 (2024) 269-456, [hep-th/1401.2975].
[4] X. Bekaert, «Universal enveloping algebras and some applications in physics», Lecture notes of Modave Summer School in Mathematical Physics, 2005,
https://ptm.ulb.be/xavier-pdf/
[5] B. Hall, «Lie Groups, Lie Algebras, and Representations. An Elementary Introduction», Springer 2015.
[6] S. Rychkov, «EPFL Lectures on Conformal Field Theory in D >=3 Dimensions», Springer Briefs in Physics, 2017, [hep-th/1601.05000]
[7] H. Osborn, «Lectures on Conformal Field Theories in more than two dimensions», Cambridge lectures on CFT,
https://www.damtp.cam.ac.uk/user/ho/CFTNotes.pdf
[8] M. Eastwood, «Higher symmetries of the Laplacian», Annals Math. 161 (2005) 1645-1665, [hep-th/0206233]
