Теория узлов

Миронов Сергей Андреевич

кандидат физико-математических наук

Куратор: Сергей Андреевич Миронов (sa.mironov_1@physics.msu.ru)

Для участия в школе студент должен:

1. Зарегистрироваться на странице мероприятия на научном портале "Ломоносов".

2. Выбрать интересующие темы по одному из предложенных курсов.

3. Отправить куратору курса список интересующих тем в порядке убывания предпочтения. Пожалуйста, укажите в том же письме название Вашего вуза и год обучения. Куратор зарезервирует свободную тему и напишет об этом.

4. После утверждения выбранной темы преподавателем студент должен до 03 января 2026 года подготовить и прислать куратору конспект темы в формате pdf (не более 2 стр., набранных в LaTeX). По итогам обсуждения конспекта будет принято решение об участии студента в зимней школе. Мы просим заинтересованных студентов присылать конспекты заранее, чтобы успеть изменить их в соответствии с замечаниями кураторов.

5. Отбор участников будет завершен к 10 января 2026 года.

Темы докладов:

1) Топологические инварианты, движения Радемайстера, скейн-соотношения, представления узла

[1], [2] ch 2, [3] ch 5-7, [4] ch 1-3

2) Квантовые группы, R-матрица

[2] ch 3,5, [3] ch 6,7, [7], [10]

3) Теория Черна-Саймонса, подход Решетихина-Тураева

[2] ch 3-5, [3] ch 4,6,7, [9]

4) Полиномы ХОМФЛИ, матрицы Рака, гипотеза о собственных значениях

[2] ch 6,7, [3] ch 4-7, [5] ch 1, [8]

5) Инварианты Васильева, групповые инварианты, интеграл Концевича

[4] ch 4-8, [5] ch 3, [6], [13], [14]

6*) Алгебра Вожеля, универсальность

[4] ch 7, [11], [12]

Список литературы:

[1] А.Б. Скопенков, "Основы теории узлов и зацеплений для пользователя", Математическое просвещение, сер. 3, 2021, выпуск 27, страницы 128–165, mathnet: mp999

[2] А.А. Морозов, "Точные вильсоновские средние в калибровочной теории Черна-Саймонса", диссертация д.ф.-м.н., https://lebedev.ru/file/3608

[3] A. Anokhina, "On R-matrix approaches to knot invariants", arXiv:1412.8444 [hep-th]

[4] S. Chmutov, S. Duzhin, J. Mostovoy, "Introduction to Vassiliev Knot Invariants", Cambridge University Press, May 2012, ISBN 978-1-107-02083-2, arXiv:1103.5628 [math.GT]

[5] А.В. Слепцов, "Симметрии квантовых инвариантов узлов и квантовых 6j-символов", диссертация д.ф.-м.н., https://www.inr.ru/rus/referat/slepcov/dis.pdf

[6] D. Bar-Natan, "On the Vassiliev knot invariants", Topology 34 (1995) 423–472, https://www.math.utoronto.ca/drorbn/papers/OnVassiliev

[7] Н. Ю. Решетихин, Л.А. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев, "Квантование групп Ли и алгебр Ли, Алгебра и анализ", 1989, том 1, выпуск 1, 178–206, mathnet: aa7

[8] X.-S. Lin, H. Zheng, "On the Hecke algebras and the colored HOMFLY polynomial", Trans. Amer. Math. Soc. 362 (2010), no. 1, 1-18, arXiv:math/0601267 [math.QA]

[9] M. Marino, "Enumerative geometry and knot invariants", 70th Meeting between Physicists, Theorist and Mathematicians, HUTP-02-A052, arXiv:hep-th/0210145

[10] Z. Chang, "Quantum Group and Quantum Symmetry", Phys.Rept. 262 (1995) 137-225, arXiv:hep-th/9508170

[11] D. Khudoteplov, A. Morozov, A. Sleptsov, "Can Yang-Baxter imply Lie algebra?", Phys. Lett. B 867 (2025) 139586, arXiv:2503.13437 [hep-th]

[12] D. Khudoteplov, E. Lanina, A. Sleptsov, "Construction of Lie algebra weight system kernel via Vogel algebra", arXiv:2411.14417 [math.QA]

[13] M. Alvarez, J.M.F. Labastida, "Vassiliev invariants for torus knots", Journal of Knot Theory and Its Ramifications 1996 05:06, 779-803, arXiv:q-alg/9506009

[14] M. Alvarez, J.M.F. Labastida, "Numerical knot invariants of finite type from Chern-Simons perturbation theory", Nucl.Phys.B 433 (1995) 555-596, Nucl.Phys.B 441 (1995) 403-404 (erratum), arXiv:hep-th/9407076 [hep-th]